ماذا نعنى بمفهوم التماثل او التناظر؟
التماثل او التناظر بوجه عام هو احد الخصائص الجمالية للاشكال الهندسية و النظريات الفيزيائية, وتفادياً للمسألة الذوقية فاننا نعنى بالجمال هنا البساطة. فعندما يصف الفيزيائى نظرية ما بانها جميلة فهو حتماً يعنى انها نظرية بسيطة متماثلة فى بنيتها الداخلية و قادرة على وصف الطبيعة.كمثال لذلك نجد ان النظرية النسبية الخاصة مبنية على مفهوم التماثل وكون المبداء الاول من مبادئ النظرية النسبية يقول ان جميع مناطات الاسناد القصورية متكافئة (اى متماثلة ومتناظرة) فى وصف الطبيعة فهو يدل على هذا البعد التماثلى الجمالى للنظرية. ثم جاء المبداء الثانى ليشد من عضد المبداء الاول فى هذه السمفونية الجمالية
مثال(1) :
افترض معادلة القطع المكافئ التالية
الان دعنا نقوم بتحويل المتغير المستقل من x الى سالب x
وهكذا سوف تكون معادلة القطع المكافئ بعد التحويل هى
والان طالما ان التحويل لم يغير المعادلة فاننا نقول ان معادلة القطع المكافئ متماثلة نتيجة للتحويل
نلاحظ من الرسم ان النصفين الايمن والايسر متماثلين.
مثال(2):
هب انه لدينا جهاز قياس حرارة (ثيرمومتر) وقمنا بقياس درجة الحرارة عند نقطة x داخل الغرفة ووجدنا ان درجة الحرارة عند تلك النقطة تساوى 20 درجة مئوية ثم بعد ذلك قمنا بقياس درجة الحرارة عند نقطة اخرى x+a داخل الغرفة (اى قمنا بانتقال مكانى (تحويل) من نقطة الى اخرى ) ووجدنا ان درجة الحرارة عند النقطة الجديدة تساوى ايضاً 20 درجة مئوية. وهكذا كانت درجة الحرارة عند جميع نقاط الغرفة تساوى 20 درجة. الان ماهو الاستقراء الفيزيائى الذى سوف نخلص اليه؟
بالطبع سوف نقول ان درجة الحرارة موزعة بانتظام داخل الغرفة اى ان درجة الحرارة لا تتغير نتيجة للانتقال المكانى داخل الغرفة بمعنى اخر ان درجة الحرارة متماثلة عند جميع النقاط
التماثل يقود الى الثبات
وجدنا ان درجة الحرارة عند x تساوى 20 درجة مئوية اى ان
وعند النقطة x+a كانت درجو الحرارة ايضاً تساوى 20 درجة مئوية اى ان
وهكذا فان
وبأخذ مفكوك تايلور للدالة فى الطرف الايسر من المعادلة الاخيرة نجد ان
وهكذا نجد ان
ولما كانت a قيمة اختيارية (اعتباطية) فانه يكفى ان تساوى المشتقة الاولى صفراً للتحقق المعادلة الاخيرة اى
اى انه نتيجة لتماثل تحت تحويل الانتقال المكانى فان درجة الحرارة تظل ثابته عند جميع النقاط داخل الغرفة
دوال غراسمان:
تعريف: لتكن f دالة فى متغير فيرميونى (غراسمانى)
ولكن نتيجة للخاصية ضد الابدالية فان مربع المتغير الغراسمانى يساوى صفراً و هكذا فان اى حد يحتوى على قوى اكبر من او تساوى 2 سوف يختفى و عليه فان الدالة f تحتوى على حدين فقط
ما اروعها حقاً من دالة انها بسيطة جداً
قوانين بيرزن للتفاضل والتكامل:
تخضع الدوال التى تعتمد على متغيرات غراسمان لقوانين بيرزن للتفاضل والتكامل
مثال: اوجد تفاضل الدالة ؟
الحل:بالتطبيق المباشر لقاعدة التفاضل سوف نحصل على
مثال: اوجد تكامل الدالة
الحل:
الان تلاحظ معى انه لا يوجد اى فرق بين التفاضل و التكامل !!و ان تفاضل الدالة الغراسمانية يساوى دائماً و ابداً تكاملها. او ليس هذا رائعاً جداً
تمرين:
اوجد الصيغة العامة للدالة الاُسية حيث ان سيتا هى متغير غرسمانى بينما ان الفا هى عدد غراسمانى
من ثم احسب كل من تفاضلها وتكاملها بالنسبة ل
