اذا قمنا بقذف حجر راسيا الى اعلى من سطح الارض بسرعة v , فان الحجر سوف يقطع مسافة راسية y قبل ان يسقط مرة اخرى الى الارض والان دعنا نقذف الحجر مرة اخرى ولكن هذه المرة بسرعة اكبر فنجد ان الحجر سوف يقطع مسافة اكبر الا ان الجاذبية الارضية سوف تتغلب عليه وتجعله يسقط مرة اخرى الى سطح الارض, ولكن اذا قذفنا الحجر بسرعة كبيرة جدا اكبر من سرعة الافلات فان الحجر سوف يتغلب على الجاذبية الارضية ولن يسقط مرة اخرى بل سوف يهرب تماما من الارض
اى لكى يفلت الحجر من جاذبية الارض لابد على الاقل ان تساوى طاقته الحركية طاقة الجذب التثاقلى للارض
حيث M هى كتلة الارض , m كتلة الحجر, R نصف قطر الارض و G ثابت الجذب العام
وهذه المعادلة تقودنا الى ان مربع السرعة يعطى ب
والان اذا كانت النسبة 2GM/R اكبر من مربع سرعة الضوء فهذا يعنى حتى لو اننا اطلقنا شعاع ضوء من سطح الارض فلن يفلت من الجاذبية , وهكذا طالما ان الضوء لا يستطيع الهروب من جاذبية الارض فان اى مراقب خارج الارض لن يستطيع ان يراها ولذلك يقول انها عبارة ثقب اسود
ولكى يكون لدينا ثقب اسود فيجب ان تكون 2GM/R اكبر من مربع سرعة الضوء ,وبالنسبة للارض – لحسن حظنا -فان هذه النسبة اقل كثير جدا من مربع سرعة الضوء ,ولكن لكى نتحصل على ثقب اسود فيجب ان تذداد M بينما يظل نصف القطر R ثابتا او العكس ان يقل نصف القطر وتظل الكتلة ثابته
حيث R يعرف بنصف قطر شوارشيلد
فاذا انكمشت الشمس حتى اصبح نصف قطرها 3 كيلومتر فانها سوف تصبح ثقبا اسودا اى ان نصف قطر شوارشيلد للشمس يساوى 3 كيلومتر اما نصف قطر شوارشيلد للارض فيساوى 1 سنتمتر تقريبا اى اذا انكمشت الارض حتى اصبح نصف قطرها 1 سنتمتر فسوف تصبح ثقبا اسودا
السناريو
اى نجم كالشمس مثلا يشع طاقة, و السوال هو من اين يتحصل النجم على هذه الطاقة؟
لقد وجد العلماء ان مصدر طاقة النجم هو تفاعل اندماج نووى يحدث داخل قلب النجم حيث يتحول الهيدروجين الى هيليوم معطياَ طاقة هائلة تعرف بالطاقة الشمسية وهكذا طالما ان النجم يشع بصورة مستمرة فان كمية الهيدروجين تقل داخل النجم مما يعنى نقصان الطاقة المشعة وبالتالى يقل الضغط الاشعاعى الذى يعمل على سطح النجم الى الخارج فتتغلب الجاذبية عليه فينكمش السطح الخارجى ويقل نصف قطر النجم ولكن نتيجة لهذا الانكماش سوف تذداد درجة الحرارة داخل قلب النجم وعندما تصل درجة الحرارة الى قيمة معينة تكون كافية لاحداث تفاعل نووى جديد يتحول فيه الهيليوم الى كربون واكسجين معطيا طاقة هائله جدا ونتيجة لهذه الطاقة سوف يذداد الضغط الذى يعمل للخارج على سطح النجم وهكذا يبدأ النجم فى التمدد تدريجيا حتى يصبح عملاقا احمرا Red Giant. ولكن فى النهاية سوف تنفذ كمية الهيليوم داخل النجم فيتحول الكربون الى سيليكون ومن ثم يتحول السيليكون الى حديد , ولما كان الحديد واحد من اكثر العناصر استقرارا فالطاقة التى يحتاجها لكى يتحول الى عنصر آخر تكن اكبر من مقدار الطاقة التى سوف يشعها
وجد ايضا ان الزمن الذى يستغرقه النجم لكى يصل الى هذه المرحلة يعتمد على ثلاثة اشياء:
كتلة النجم
الاندفاع الزاوى للنجم
والمجال المغنطيسى للنجم
فاذا كانت كتلة النجم تساوى تقريبا كتلة الشمس وكان النجم فى حالة دوران حول نفسه فسوف يتحول هذا النجم الى ما يسمى بالقزم الابيض White Dwarf حيث ان الضغط داخل هذا القزم الابيض لاينجم فى الاساس عن التأثيرات الحرارية بل ينجم عن التأثيرات الكمية.
اذا كانت كتلة النجم تعادل ما بين 8 الى 10مرة قدر كتلة الشمس فان طاقة النجم سوف تنفذ طاقته تماما اما اذا كانت كتلة النجم اكبر من 10 اضعاف كتلة الشمس فان قلب النجم سوف يصبح غير مستقرا مما يتسبب فى انكماش النجم بصورة كبيرة جدا جدا مكونا ما يعرف بالنجم النيوترونى او ما يعرف بالثقب الاسود
ولكن اذا لم يكن النجم فى حالة دوران فان كتلة مساوية ل 1,4 مرة قدر كتلة الشمس سوف تكون كافية لكى ليتحول الى نجم نيوترونى اى ان الدوران يذيد من مقدار الحد الادنى للكتلة اللازم لتحول النجم الى نجم نيوترونى او الى ثقب اسود
دعنا الان نستخدم بعض المفاهيم الرياضية للنسبية العامة
لقد وجد ان مربع طول الفترة الرباعية الابعاد لنجم كروى كتلته M تعطى ب
لاحظ عند r = R نصف قطر شوارشيلد فان معامل الزمن dt^2 سوف يصبح صفرا بينما معامل dr^2 سوف يصبح لانهائيا (راجع تعريف نصف قطر شوارشيلد فى المشاركة رقم 1)
نسمى السطح الذى يحيط بالثقب الاسود والذى نصف قطره يساوى نصف قطر شوارشيلد بفق الحدث Horizon Event فاذا عبر اى مراقب افق الحدث للثقب الاسود فلن يستطيع الهروب منه مرة اخرى بل سوف ينجذب بقوة هائلة جدا نحو منطقة الكارثة (المركز) التى تعرف بالمفرده r = 0 فى زمن وجيز جدا
اما اذا لم يعبر المراقب افق الحدث فعليه ان يتحرك بسرعة الضوء حتى يبقى دائما عند افق الحدث ويمنع نفسه من السقوط نحو المفرده r = 0
الثقوب السوداء وميكانيكا الكم
فى النظرية العامة للنسبية نتعامل مع الفوتونات على انها عبارة عن اجسام مثالية تتحرك بسرعة الضوء وتسلك اقصر مسار بين نقطتين , من المعلوم لدينا ان اقصر مسار بين نقطتين فى الهندسة الاقليدية هو الخط المستقيم, ولما كان للزمنكان فى النسبية العامة خصائص ديناميكية فهو ينحنى بالقرب من الكتل ولذلك فان الهندسة التى تصف هذا السطح المنحنى تختلف عن الهندسة التى تصف السطوح المستوية (الهندسة الاقليدية) وتسمى هذه الهندسة بالهندسة الريمانية وهى الهندسة التى تصف السطوح المنحنية كسطح الارض مثلا فهو عبارة عن كرة اذا نظرنا لها عالميا Globally اى اذا نظرنا للارض ككل اما اذا نظرنا لسطح الارض محليا Locally اى فى مساحة صغيرة سوف تظهر على انها عبارة عن سطح مستوى وهكذا كلما ذدنا المساحة ظهر انحناء الارض ولذلك نعرف السطح الريمانى انه سطح منحنى عالميا ولكنه مستوى محليا واقصر مسار يصل بين نقطتين فى السطح الريمانى هو عبارة عن منحنى يسمى بالجيودسك Geodesic ففى سطح الارض مثلا نجد ان الجيودسك هو عبارة جزء من خط طول او خط عرض
الان وبالرجوع الى الفوتونات مرة اخرى لقد قلنا ان الفوتون يسلك اقصر مسار بين نقطتين وهذا المسار نسميه الان بالجيودسك ولكن فى ميكانيكا الكم هناك مبدأ مشهور يعرف بمبدأ الشك Uncertainty Principle والذى ينص على انه من المستحيل تحديد موضع الجسيم واندفاعه بدقة متناهية فعندما تقول النسبية العامة ان الفوتون يسلك مسار محدد تماما (الجيودسك) هنا تتدخل ميكانيكا الكم وتقول ان هذا مستحيل
اشعاع هوكنج
لقد اندهش الفيزيائيين عندما اعلن العالم الانجليزى استيفن هوكنج بقوله ان الثقوب السوداء ليست سوداء تماما بل يمكنها ان تشع الطاقة بنحو مستمر وذلك عند تطبيق مفاهيم ميكانيكا الكم على الاشعاع الكهرومغنطيسى بالقرب من افق الحدث للثقب الاسود
لقد استخدم هوكنج مفاهيم نظرية المجال الكمى Quantum Field Theory لكى يبرهن اشعاع الثقب الاسود ولكن يمكننا ان نستخدم وبطريقة مبسطة جدا مفهوم مبدا الشك فى ميكانيكا الكم لكى نتوصل الى نفس النتيجة:
يمكن صياغة مبدأ الشك بطريقة اخرى غير التى ذكرنها فى المشاركة رقم 4
حيث ان delta E هو اقل شك فى قياس طاقة الجسيم فى زمن مقداره delta t
تقول نظرية المجال الكمى ان الفضاء الاعتيادى يعج بانحرافات كمية فراغية vacuum fluctuations
اى ان الفراغ ليس فراغا خاليا تماما فمثلا يمكن للفضاء ان يخلق زوج من الفوتونات عند نقطة زمنكانية معينه (حدث فى الفضاء الرباعى) وتفنى عند نقطة زمنكانية اخرى ويبدو من الوهله الاولى ان هذا يتناقض مع قانون انحفاظ الطاقة ولكن هذه العملية (الخلق و الفناء) تستغرق زمن وجيز جدا جدايعادل
وهكذا يمكن خلق زوج من الفوتونات بالقرب من افق الحدث لثقب اسود احدها بطاقة E والاخر بطاقة ُE –
وكما هو معلوم لايمكن للفوتون ذو الطاقة السالبة ان ينتشر بحرية فى الفضاء المستوى بل ان هذا الفوتون سوف يمتص الفوتون الاخر فى زمن قدره t = h/2pi E ويختفيان عن الوجود مرة اخرى ولكن اذا تم خلق هذا الزوج من الفوتونات بالقرب من افق الحدث للثقب الاسود فهناك فرصة لكى يعبر الفوتون ذى الطاقة السالبة افق الحدث قبل انقضاء الزمن h/2pi E وعندما يعبر افق الحدث سوف ينتشر بحرية نحو المفرده وهكذا يمكن للفوتون E ان يُشع الى الخارج معطيا ما يُعرف باشعاع هوكنج
درجة حرارة هوكنج
الان بعدما عرفنا ان الثقوب السوداء تستطيع ان تصدر اشعاعا, لذلك ليس من العسير حساب طول موجة الاشعاع الصادر عن الثقب الاسود فاذا كان لدينا فوتون طوله الموجى مساوى لنصف قطر شوارزشيلد فان طاقة هذا الفوتون تعطى من معادلة بلانك
حيث نيو هو تردد الفوتون والذى يمكن كتابته بدلالة الطول الموجى لامدا على النحو التالى
وعليها طالما ان لامدا تساوى نصف قطر شوارزشيلد اى ان
وهكذا تكون طاقة الفوتون هى
تزكر ان الثقب الاسود يمتص اى اشعاع ساقط عليه مما يعنى ان الثقب الاسود هو عبارة عن جسم اسود وهكذا يجب ان تكون له درجة حرارة اتزن هى
حيث k هوثابت بولتزمان
بالتعويض فى طاقة الفوتون نحد ان درجة حرارة الثقب الاسود
لاحظ اننا لم نأخذ فى الاعتبار انحناء الزمنكان الذى يسببه الثقب الاسود ولم ندخل التأثيرات الكمية فى ايجاد درجة حرارة الثقب الاسود ولكن لحسن الحظ فان النيجة التى توصلنا اليها لن تغير كثيرا بعد ادخال التاثيرات الكمية فقط نجد انها اكبر من النتيجة التى تحصل عليها هوكنج بمقدار 8pi^2
اى ان درجة حرارة هوكنج تعطى بالعلاقة التالية
لاحظ ان درجة حرارة هوكنج تتناسب عكسيا مع كتلة الثقب الاسود وهكذا نجد ان الثقب السود الذى له كتلة كبيرة تكون درجة حرارة هوكنج له صغيرة جدا (مما يجعل من الصعب على الفلكيين رصد درجة حرارة هوكنج للثقوب العملاقة) وكلما قلت كتلة الثقب الاسود ذادت درجة حرارته وهكذا نتوقع ان الثقب الاسود عندما يشع فانه يفقد مقدار من كتلته
قلنا سابقا ان الثقب الاسود يشع اشعاع هوكنج وتمثل جسم اسود له درجة حرارة مساوية لدرجة حرارة هوكنج الان نريد ان نحسب الزمن اللازم للثقب الاسود ليشع جل طاقته فى شكل اشعاع هوكنج
نعلم ان اى جسم اسود تكون له شدة استضاءة تعطى بالقانون التالى
وتقاس بوحدة واط (جول على الثانية)
حيث سيجما هو ثابن استفن-بولتزمان و A هى مساحة السطح المشع , بالنسبة للثقب الاسود نجد ان هذا السطح هو سطح افق الحدث وهو عبارة عن كرة نصف قطرها يساوى نصف قطر شوارزشيلد وهكذا تتعطى المساحة ب
وبتعويض قيمة نصف قطر سوارزشيلد تصبح مساحة افق الحدث
وهكذا يمكن تعويض كل من مساحة افق الحدث ودرجة حراره هوكنج فى قانون شدة الاستضاءة اعلاه لنحصل على شدة استضاءة الثقب الاسود
وهو بدوره يمكن اعادة كتابته بالصورة التالية
لاحظ ان الحد فى البسط ماهو الا مربع كتلة بلانك
اما الحدالثالث هو عبارة عن شدة استضاءة انشتاين وشدة استضاءة انشتاين هى شدة استضاءة كبيرة المقدار ولا يصلها الثقب الاسود الا اذا كانت كتلته فى حدود كتلة بلانك
ولا يجاد تقدير (تقريب) للزمن اللازم ليفقد الثقب طاقنه فى شكل اشعاع هوكنج هو حاصل قسمة طاقته على معدل فقده للطاقة اى استضاءة الثقب الاسود
المصدر
http://www.hazemsakeek.com/vb/
