بعض الدروس و التمارين في الرياضيات 4 متوسط
تحليل عبارة جبرية
معرفة1:تحليل عبارة جبرية على شكل مجموع أو فرق يعني كتابتها على شكل جداء.
التحليل باستعمال العامل المشترك
بصفة عامة:
k * a + k * b = k * (a + b)
جداء مجموع
k * a – k * b = k * (a – b)
جداء فــــرق
عامل مشترك. K يسمى
مثال:حلّل العبارات الأتية:
A = 6 x + 18 ;
B = 5 x 2 – 15 x ;
C = (3 x – 1) (x – 8) – (2 x + 4) (x – 8).
A=6×x+6×3=6×(x+3)=6(x+3)
B=5x×x-5x×3=5x×(x-3)=5x(x-3)
C = (3 x – 1)(x – 8)– (2 x + 4)(x – 8)
C=(x-8)[(3x-1)-(2x+4) ]
C=(x-8)(3x-1-2x-4)
C=(x-8)(x-5)
تطبيقات:
ت1: ضع العدد الموجود بين قوسين كعامل مشترك
لكل عبارة مما يأتي:
a=15x-15 (15) .
b=-6x+24 (6).
c=4x-8 (4 ) .
s=-50x-75 (25).
ت 2:حلّل العبارات الأتية:
d=8x-12
e=7x^2-21x
f=(x-5)(x+2)-(x-5)(3x-2)
g=2x+3+5x(2x+3)
ت3: حلّل العبارات الأتية:
h=4x^2+3x
i=7x^2-x
j=4x^2+8x
k=5x^2-15x
l=2x^2+8x^4
m=5x^3-x^2+2x
n=-4x^3-4x^2+8x^4
ت4:حلّل العبارات الأتية:
A=(x+3)(x+5)-3(x+5)
B=(2x+3)(x-4)+(3x-5)(x-4)
C=(3x-1)(x-2)-(2x+5)(3x-1)
D=x(2x+3)-7(2x+3)
E = (x + 1) (x + 7) – (x + 7) ;
F = (2 x – 5) 2 – (2 x – 5) (x + 2) ;
G = 2 x + 1 + 5 x (2 x + 1) – 3 x (2 x + 1) ;
H = (x – 8) 2 + (x – 8).
ت5: حلّل ثم أحسب ذهنيا كما في المثال الأتي:
12 * 23 – 23 * 11 = 23 * (12 – 11) = 23 * 1 = 23
A = 151 * 47 + 151 * 53 ; B = 13 * 2,3 + 5,7 * 13 ;
C = 32 * 23,5 – 3,5 * 32 ; D = 17 * 47 – 37 * 17 ;
E = 21 * 3,4 + 21 * 5,4 – 0,8 * 21.
التحليل با ستعمال المتطابقات الشهيرة
مثال:حلّل العبارات الأتية:
A = x 2 + 6 x + 9 ; B = x 2 – 36 ; C = 4 x 2 – 20 x + 25 .
A=x^2+6x+9=x^2+2×x×3+3^2=(x+3)^2
B=x^2-36 =(x)^2-(6)^2=(x+6)(x-6)
C=4x^2-20x+25=(2x)^2-2×2x×5+(5)^2
C=(2x-5)^2
تطبيقات
ت1: حلّل العبارات الأتية:
D = x 2 – 8 x + 16 ;
E = 9 x 2 + 6 x + 1 ;
F = 16 x 2 – 9.
مساعدة
D = x 2 – 8 x + 16 = … 2 – … * x * … + … 2 = (x – …) 2 ;
E = 9 x 2 + 6 x + 1 = (…x) 2 + 2 * 3… * … + 1 2 = (…x + …) 2 ;
F = 16 x 2 – 9 = (…x) 2 – … 2 = (…x + …) (…x – …).
ت2 : حلّل العبارات الأتية:
A = x 2 + 2 x + 1 ;
B = x 2 – 6 x + 9 ;
C = x 2 – 81 ;
D = x 2 + 18 x + 81 ;
E = x 2 + 8 x + 16 ;
F = x 2 – 9 ;
G = 64 – x 2 ;
H = x 2 – 10 x + 25.
ت3:حلّل العبارات الأتية:
A = 4 x 2 – 4 x + 1 ;
B = 9 x 2 + 54 x + 81 ;
C = 25 x 2 – 16 ;
D = 4 x 2 – 28 x + 49 ;
E = 36 x 2 + 36 x + 9 ;
F = 36 x 2 – 9 ;
G = 9 x.2 – 81 ;
H = 9 x 2 – 12 x + 4.
ت3:حلّل العبارات الأتية كما في المثال الأتي:
A = (x + 2) 2 – 16 = (x + 2) 2 – 4 2 = [(x + 2) – 4] [(x + 2) + 4] = (x – 2) (x + 6).
B = (3 x – 4) 2 – 49 ;
C = (x + 1) 2 – 9 ;
D = (2 x – 1) 2 – 100 ;
E = 36 – (x – 6) 2 ;
F = (x – 1) 2 – (x + 3) 2 ;
G = (3 x – 7) 2 – (8 x + 8) 2.
ت4:تمثل الكتابةالأتية إجابة التلميذ عبدالرحمان على ورقة الإمتحان:
، هل إجابة عبدالرحمان صحيحة؟علّل.x^2-16x+36=(x-6)^2
تمارين
تمرين1:حلّل العبارات الأتية:
A = 4x² + 4x + 1 – (2x + 1)(3x – 2)
B = (3x – 2)(x + 5) + 9x² – 4
C = 2x + 4 – (x + 2)(x – 5)
D = 8x – 20 + 4x² – 25
E = 2x – 6 – (x – 3)(x – 1)
F = 4x² – 9 + (8x + 12)(x – 3)
G = x² + 6x + 9 – (5x + 15)(x – 7) H = 25x² – 9 + (10x – 6)(2x + 1)
I = 9x² + 6x + 1 – (3x + 1)(x + 2)
J = 9x² – 9 + (x + 1)(2x – 7)
K = 18x² – 2 + (6x – 2)(2x – 5)
L = x² – 10x + 25 – (x – 5)(2x + 3)
M = (3x + 3)(2x + 6) – (x + 1)²(x + 3)
N = 2x – 8 + (x – 4)(2x + 3)
تمرين2:حلّل العبارات الأتية إن أمكن ذلك باستخدام إحدى المتطابقات الشهيرة:
81x² – 18x + 4 = ………………
4x² – 81 = …………….
25x² + 60x + 36 = ……………..
x² – 22x + 121 = ………………
9x² – 49 = ……………………
64 – 16x + x² = ………………..
16x² + 48x + 9 = ……………… h) 64x² – 9 =
x² + 4xy + 4y² =
x4 – 81 =
16x² – 25 =
100 – x² =
4x² – 9 =
36x² – 25 =
المعادلات
حلول معادلة:
التي تحقق المعادلة؟ x يعني إيجاد قيم المجهول 4x+7=3x-5 حلول المعادلة
1) تغيير كتابة معادلة دون تغيير حلولها:
*إذا أضفنا (أو طرحنا) نفس العدد إلى طرفي معادلة فإنه لا تتغير حلول هذه المعادلة*.
نضيف 3 إلى طرفيها 4x+7=3x-5 مثال:لدينا:
4x+10=3x-2 نحصل على المعادلة:
4x+2=3x-10 وإذا طرحنا 5 من طرفي المعادلة نحصل على المعادلة:
لها نفس الحلول . 4x+7=3x-5 و4x+2=3x-10 و4x+10=3x-2 المعادلات:
نقول إن المعادلات:
متكافئة أي لها نفس الحلول . 4x+7=3x-5 و4x+2=3x-10 و4x+10=3x-2
*إذاضربنا أو قسمنا طرفي معادلة في نفس العدد(على نفس العدد غير المعدوم)فإنه لاتتغيرحلولها*.
مثال:إليك المعادلة:5x+4=3x-2 ،نضرب طرفيها في العدد 3
نحصل على المعادلة:15x+12=9x-6
وإذا قسمنا طرفي المعادلة على2 نحصل على المعادلة:5/2 x+2=3/2 x-1.
2) مبدأ حل معادلة:
* لحل معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد،نستبدل هذه المعادلة بمعادلة
أبسط منها وتكافؤها(لها نفس الحلول)ونستعمل طريقة نقل الحدود مع تغيير الإشارات*.
مثال:حل المعادلة: 5x+4=3x-2
خط1:ننقل المجهول في طرف و المعلوم في الطرف الأخر: 5x-3x=-2-4
خط2:نبسط طرفي المعادلة: 5x-3x=-2-4فنحصل على:2x=-6
خط3:نقسم طرفي المعادلة:2x=-6 على العدد 2 نحصل على: x=-3
إذن 3- هو حل لهذه المعادلة.
معادلة جداء معدوم:
*نسمي معادلة جداء معدوم كل معادلة مكتوبة على شكل جداء عوامل يساوي 0.*
مثال: المعادلة
3x-5)(2x+7)=0 هي معادلة جداء معدوم.
نظرية:
** إذاكان ab=0 معناه: a=0 أو b=0.**
*تمكننا هذه النظرية من تحويل معادلة جداء إلى معادلتين من الدرجة الأولى.*
كما يوضح المخطط الأتي:
(3x-5)(2x+7)=0
=0 b x a
3x-5=0أو2x+7=0
مثال: حل المعادلة: (7x-5)(4x+)=0
لدينا: (7x-5)(4x+)=0يعني أن: 7x-5=0أو4x+8=0
x=(-8)/4=-2 أوx=5/7 ومنه: 7x=5أو4x=-8 ومنه:
إذن :2- و 5/7 هما حلان لهذه المعادلة.
طرائق حل معادلات:
مثال: لنحل المعادلات الثلاث:
(x+4)^2=25
(x+4)^2-25=0
[(x+4)-5][(x+4)+5]=0
(x-1)(x+9)=0
x-1=0 أو x+9=0
x=1 أو x=-9
* إذن 1 و 9-هما حلان لهذه المعادلة. (x+1)^2=(2x-1)^2-3x^2
x^2+2x+1=4x^2-4x+1-3x^2
x^2-4x^2+3x^2+2x+4x=1-1
6x=0
x=0
إذن 0 هو حل لهذه المعادلة. x/2+(x+3)/4+x+5=0
2x/4+(x+3)/4+(4x+20)/4=0
(7x+23)/4=0
7x+23=0
7x=-23
x= (-23)/7
إذن(-23)/7 هو حل لهذه المعادلة.
حوّلنا المعادلة إلى معادلة طرفها الثاني
يساوي الصفر، ثم فمنا بتحليل الطرف
الأول للحصول على معادلة جداء معدوم قمنا بالنشر و التبسيط
السؤال الذي يطرح نفسه بالنسبة لتلميذ سنة الرابعة متوسط في هذه الحالة .كيف أحل معادلة من هذا النوع(من الدرجة2 أو أكثر)؟.
هل أقو م بالنشر؟ ،هل أقوم بالتحليل؟……إليك المخطط الأتي يوضح لك الإختيار الصحيح:
؟
تمارين
تمرين1:
حل المعادلات الأتية:
a) 7 x = 13 ; b) x – 3 = 12 ; c) – x3 = 5 ;
d) 3 x + 10 = 28 ; e) 7 – 4 x = 11 ; f) 9 = 2 x + 7.
تمرين 2:
حل المعادلات الأتية:
a) 4 x + 7 = 2 x + 13 ; b) x – 2 = 10 + 5 x ;
c) – 3 x – 8 = – 7 x – 4 ; d) 2 t + 5 = 5 t + 12 ;
e) 7 x – 6 = 6 x + 3، f) 15 x = 7 x + 4.
تمرين3:
حل المعاذلات الأتية:
a) x + (2 x – 3) + (x – 7) = 12 ;
b) 4 (5 x – 7) = 32 ;
c) 5 (x + 1) – 3 (x – 2) = 48 ;
d) 3 (2 x – 1) – 5 x = 3 x – 1 ;
e) 2 (x – 3) + 3 (x – 1) = 2 x – 3 ;
f) 5 x – 2 (3 x + 1) = 3 (x + 3) – 4 (2 x + 3) ;
g) 8 – 7 (x – 1) + 3 (2 x + 3) = – 4 x.
تمرين 4:حل المعادلات الأتية:
(x + 2) (x – 5) = 0 ;
(x – 3) (– 2 x + 3) =0 ;
2 x (3 x – 4) = 0 ;
(9 – 5 x) (3 x + 2) = 0 ;
(2 x – 7) 2 = 0.
4 x 2 – 2 x = 0 ;
(3 x – 5) (x + 1) – (3 x – 5) (2 x – 3) = 0 ;
(5 x + 7) (2 x + 3) – (5 x + 7) 2 = 0 ;
9 x 2 – 25 = 0.
تمرين 5:حل المعادلات الأتية:
(2x+3)(x-4)=-(3x-5)(x-4)
(3x-1)(x-2)=(2x+5)(3x-1)
x(2x+3)=7(2x+3)
x 2 + 12 x + 36 = (2 x – 3) (x + 6) .
7x^2=21x
9 x 2 – 12 x = – 4
(2 x – 1) 2 = 100 ;
36 = (x – 6) 2 ;
(3 x – 7) 2 = (8 x + 8) 2
. (3 x +8) (2 x + 3) = (3 x + 8) 2
ترييض مشكل
حل مسألة تؤول إلى حل معادلة:
** لحل مسألة عن طريق حل معادلة يجب إتباع الخطوات الأتية:
-وضع أو اختيار المجهول المناسب للسؤال.
– وضع المعادلة الملائمة لمعطيات المسألة.
– حل المعادلة.
– التحقق من الحل ثم التصريح بالإجابة عن السؤال المطروح.**
مثال:
اشترى محمد 3كتب و4 أقراص مضغوطة فدفع للتاجر 1060DA . إذاعلمت أن سعر الكتاب يزيد عن سعر القرص
بـــ:50DA فماهو سعر القرص المضغوط؟
