وهناك هندسة أخرى، الهندسة الريمانية، نقيضة لهندسة لوباتشيفسكي بمعنى أنها لاتقبل بوجود أي مستقيم مار من نقطة a لايلتقي مع المستقيم A : تتلاقى كل المستقيمات ولامعنى للتوازي في هذه النظرية، أما مجموع زوايا المثلث فهي أكبر بقليل من 180 درجة. إن المكان الزمان في الكون هو فضاء ريماني متري ذو أربعة أبعاد ومتحدب خلافاً لفضاء مينوفسكي المنبسط. تتوقف قيمة التحدث في منطقة ما من الفضاء، الانحناء بالنسبة لفضاء منبسط، على الكتل الموجودة في هذه المنطقة أي أن التحدب يقيس في واقع الأمر الجاذبية الكونية ـ التثاقل ـ بين هذه الكتل، كان كثيرون من الذين عملوا في مجال الهندسة يحلمون على غرار لوباتشيفسكي مثل غاوس بنظرية هندسية تنطبق على الفضاء الفيزيائي ولكن تطبيق الهندسة الريمانية تحديدا ًعلى الواقع الفيزيائي لم يتأت إلا على يد أنشتاين في نظرية النسبية العام عام 1915 بعد أكثر من سبعين عاما ًعلى نشوء الهندسية الريمانية. وجمعت هذه النظرية المكان والزمان والمادة (تحدب الفضاء) في هيكلة هندسية واحدة، وقد أيدت كل الأرصاد صحة هذه النظرية وعززتها كل تكنولوجيات غزو الفضاء التي بدأت قبل حوالي خمسة عقود.
التصنيفات
هندسة لوباتشيفسكي و نقيضها
من المعلوم أن مصادرة التوازي تكافئ القول أنه لايمكن أن يسقط على مستقيم (A) من نقطة ما a إلا عمود واحد أو أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة. تقوم هندسة لوباتشيفسكي على مصادرة تقبل بوجود عدد لامنته من المستقيمات المارة من نقطة ما a ـ عوضاً عن مستقيم واحد ـ لاتتقاطع مع المستقيم A وتسمى موازياً لـ A المستقيم المار من النقطة a الذي يصنع مع العمود على A زاوية ولنسمها (q). تبقي كل تعاريف وموضوعات أو مصادرات الهندسة الإقليدية قائمة وتنشأ على هذا النحو هندسة متسقة،لا تناقض فيها، لا تقل اتساقاً عن الهندسة الإقليدية يبرهن في نظرية لوباتشيفسكي أن قيمة الزاوية q تتغير بتغير المسافة الفاصلة بين النقطةa والمستقيم A وأنها تصبح مساوية لـ 90 درجة عندما تنتهي هذه المسافة إلى الصفر. أي أن الهندسة الإقليدية تقريب لهندسة لوباتشيفسكي من أجل المسافات الصغيرة جداً، ومن جهة أخرى فإن مجموع زوايا المثلث في هذه الهندسة أقل بقليل من 180 درجة.
