أريد حل تمرين 13صفحة 187
اسفة لم استطع رسمه هنا……….
الوسم: الانسحاب
التصنيفات
حلول تمارين حول الانسحاب
ﻣﻨﺎﻗﺔﺸ ) 1 ( و ) 2 ( ) و 3 ( ) و 4 ( ﻣﻦ إﺧﺘﺒﺮ ﻣﻜﺘﺴﺒﺎﻚﺗ
) 1 ( إﻧﺸﺎء ﻣﺘﻮايز اﻷﺿﻼع ABCD
إﺧﺮاج اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎت اﻟﻤﺘﻮازﯾﺔ و اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﺘﻘﺎﯾﺴﺔ ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ
) 2 ( ﯾﻮﺪﺟ 7 ﻣﺘﻮازﯾﺎت أﺿعﻼ
) 3 ( ﯾﻮﺟﺪ أرﺑﻊ ﻣﺘﻮازﯾﺎت أﺿﻼع رؤوﺳﮭﺎ اﻟﻨﻘﻂ
D , C , B , A
) 4 ( ﻧﻘﻞ اﻟﺸﻜﻞ و إﻧﺸﺎء ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع ABFG
و AKBG
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 172
) اﻟﻌﻤﻞ ﯾﻜﻮن ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﻣﺮﺻﻮﻓﺔ و ﺗﺤﻀﺮ ﻓﻲ اﻟﺒﯿﺖ (
ـ اﻟﻤﻄﻠﻮب ﻣﻦ اﻟﺘﻼﻣﯿﺬ أن ﯾﺸﺮﺣاﻮ ﻟﺰﻣﻼﺋﮭﻢ ﻛﯿﻒ أﻧﺠﺰوا اﻟﻌﻤﻞ
* إن إﺳﺘﻌﻤﺎل ﻣﺮﺑﻌﺎت اﻟﻤﺮﺻﻮﻓﺔ ﯾﺴﺎﻋﺪ ﻋﻠﻰ إﻧﺠﺎز اﻟﻌﻤﻞ وﯾﻜﻮن ذﻟﻚ ﺑﺈﻋﺘﺒﺎر ﻗﻄﻊ اﻟﺸﻜﻞ ﻛﺄﺿﻼع أو أﻗﻄﺎر ﻟﻤﺘﻮازﯾﺎت
أﺿﻼع ﯾﺠﺪدھﺎ اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ و إﻋﺘﺒﺎر ﻃﻮل اﻟﻤﺮﺑﻊ اﻟﺼﻐﯿﺮ اﻟﺬي ﺗﺘﺸﻜﻞ ﻣﻨﮫ اﻟﻤﺮﺻﻮﻓﺔ ﻛﻮﺣﺪة ﻟﻸﻃﻮلا .
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 172
اﻟﻌﻤﻞ ﯾﻜﻮن ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﺮﻣ ﺻﻮﺔﻓ
ـ رﺳﻢ اﻟﺸﻜﻞ ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﻣﺮﺻﻮﻓﺔ ﺣﯿﺚ ﺗﻮﺿﻊ اﻟﻨﻘﻂ C , B , A وﻛﻞ اﻟﻨﻘﻂ اﻷﺧﺮى ﻋﻠﻰ رؤوس ﻣﺮﺑﻌﺎت اﻟﻤﺮﺻﻮﺔﻓ
1 ( اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ABB’A’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ وﻣﻨﮫ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ AA’B’B ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ـ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ BCC’B’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ وﻣﻨﮫ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ AA’C’C ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ـ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ CDD’C’ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼ ع وﻣﻨﮫ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ
AA’D’D ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ـ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ DEE’D’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ وﻣﻨﮫ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
3
AA’E’E ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
2 ( اﻟﻨﻘﺔﻄ B ﻟﯿﺴﺖ ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﺔﻄ B’ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ A’
ـ اﻟﻨﻘﺔﻄ C ﻟﯿﺴﺖ ﺻﻮةر B ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﺬﻛﻮر ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ CBA’A ﻟﯿﺲ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
) اﻟﻘﻄﺔﻌ ] CB [ ﻻﺗﻮايز اﻟﻘﻄﺔﻌ ] AA’ ( [
Jـ ﻟﯿﺴﺖ ﺻﻮةر I ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﺬﻛﻮر ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ JIA’A ﻟﯿﺲ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ ) اﻟﻘﻄﺔﻌ ] CB [ ﻻ ﺗﻘﺎﯾﺲ اﻟﻘﻄﺔﻌ ] AA’ [
3 ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ A’ ، B’ ھﻲ ﺻﻮةر B و C’ ھﻲ ﺻﻮةر C و D’ ﻲھ ﺻﻮةر D
4 ( B’ ھﻲ ﺻﻮةر B ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ A’ ﻓﺈن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ABB’A’ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع وﻋﻠﯿﮫ
) AB ) // ( A’B’ (
BC = B’C’ ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ BCC’B’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
5 ( ) AE // ( (A’E’) و ) BE ( ) // B’E’ (
BD = B’D’ و AC = A’C’
C B A ˆ = ‘ ‘
ˆ
‘ C B A و C D E ˆ = ‘ ‘
ˆ
‘ C D E
ﺣﻞ ﻧﺸطﺎ ) 5 ( ﻦﻣ إﺧﺘﺒﺮ ﻣﻜﺘﺴﺒﺎﻚﺗ
1 ( AB +BC < AC ، AB + AC < BC
BI + CI = BC
2 ( إذا ﻛﺎن AD +DB = AB ﯾﻜﻮن ﻣﻮﻊﻗ D ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻄﺔﻌ ] AB [
ﻧﺸطﺎ ) 3 ( ص 173
ھﺬا اﻟﻨﺸﺎط ﯾﻜﻮن ﻣﺤﻀﺮ ﻓﻲ اﻟﺒﯿﺖ ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﻣﻠﯿﻤﺘﺮﺔﯾ
ـ اﻟﻤﻄﻠﻮب ﻣﻦ اﻟﺘﻼﻣﯿﺬ ﺷﺮح ﻛﯿﻔﯿﺔ ﻋﻤﻠﯿﺔ اﻟﺘﺒﻠﯿﻂ اﻟﺘﻲ ﺗﻤﺖ ﻋﻠﻰ اﻟﻮرﻗﺔ اﻟﻤﻠﯿﻤﺘﺮﺔﯾ
ـ اﻟﺒﻼﺔﻃ 2 ھﻲ ﺻﻮرة اﻟﺒﻼﺔﻃ 1 ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ A إﻟﻰ B
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
4
ـ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ C إﻟﻰ D اﻟﺒﻼﺔﻃ 4 ھﻲ ﺻﻮرة اﻟﺒﻼﺔﻃ 3
ﻧﺸطﺎ ) 4 ( ص 173
1 ( ﻧﻘﻞ اﻟﻘﻄﺔﻌ ] AB [ واﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ C و D ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﺑﯿﻀﺎء
2 ( M ﻧﻘﻄﺔ ﻛﯿﻔﯿﺔ ﻦﻣ ] AB [
ـ إﻧﺸﺎء اﻟﻨﻘﻂ A’ و B’ و M’ ﻮﺻّر A و B و M ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ D إﻟﻰ C
ـ ﺻﻮرة اﻟﻘﻄﺔﻌ ] AB [ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ D إﻟﻰ C ھﻲ اﻟﻘﻄﺔﻌ ] A’B’ [
ﻧﺸطﺎ ) 5 ( ص 173
1 ( ﻧﻘﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) d ( و اﻟﻨﻘﻄﺘﻦﯿ A و B ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﺑﯿﻀﺎء
2 ( M ، N ﻧﻘﻄﺘﺎن ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﺎن ﻦﻣ ) d (
3 ( ﻧﺸﺎء اﻟﻨﻘﻄﺘﻦﯿ M’ و N’ ﺻﻮرﺗﻲ M و N ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ A إﻟﻰ B
ﺛﻢ رﺳﻢ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) M’N’ (
ـ ﻃﺒﯿﻌﺔ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ MNN’M’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﻦﯿ ) d ( و ) M’N’ ( ﻣﺘﻮازﯾنﺎ
ـ ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) d ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ A إﻟﻰ B ھﻮ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) M’N’ (
ﻣﻨﺎﻗﺸﺔ ﺗﻤﺮﯾﻦ 11 ص 182
ـ ﺻﻮةر ) AB ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤﻮّل E إﻟﻰ F ﻮھ ) HF (
ـ ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﺚﻠ HAE ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ O ھﻮ اﻟﻤﺜﺚﻠ GOF
ﻧﺸطﺎ ) 6 ( ص 174
1 ( ﻧﻘﻞ ﻧﺼﻒ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) OX [ واﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ A و B ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﺑﯿﻀﺎء
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
5
ـ أﺧﺬ ﻧﻘﺔﻄ M ﻦﻣ ) OX [
ـ إﻧﺸﺎء O’ و M’ ﺻﻮرﺗﻲ O و M ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ B
ـ ﺻﻮةر ) OX [ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ A إﻟﻰ B ھﻮ ﻧﺼﻒ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) O’M’ [ اﻟﺬي ﯾﻮازﯾﮫ وﻟﮫ ﻣﻌﮫ ﻧﻔﺲ اﻹﺗﺠهﺎ
ﻧﺸطﺎ ) 7 ( ص 174
ﻧﻘﻞ اﻟﺸﻜﻞ ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﺑﯿﻀﺎء
ـ M ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﺪاﺋﺮة ) C (
ـ إﻧﺸﺎء O’ و M’ ﺻﻮرﺗﻲ O و M ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ B
ـ ﻃﺒﯿﻌﺔ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ OMM’O’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ـ اﻟﻄﻮل O’M’ ھﻮ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة ) C’ ( اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰﺎھ O’
ـ ﻣﻮﻗﻊ اﻟﻨﻘﺔﻄ M’ ھﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﺪاﺋﺮة ) C’ (
ـ ﺻﻮرة اﻟﺪاﺋﺮة ) C ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ B ھﻮ اﻟﺪاﺋﺮة ) C’ (
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 177
ﯾﻜﻮن ھﺬا اﻟﻨﺸﺎط ﻣﺤﻀﺮ ﻓﻲ اﻟﺒﯿﺖ ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﻣﺮﺻﻮﻓﺔ ﻣﻊ ﺿﺮورة إﺣﻀﺎر ورﻗﺔ ﺷﻔﺎﻓﺔ ﻣﺮﺳﻮم ﻋﻠﯿﮭﺎ اﻟﺴﯿﺎرة
ـ ﻣ ﻼﺣﺔﻈ : اﻟﺴﯿﺎرة ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺘﻄﺎﺑﻖ ﻣﻊ ﺻﻮرﺗﺎﮭ
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 177
1 ( رﺳﻢ اﻟﺸﻜﻞ ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﺑﯿﻀﺎء أو ﻋﻠﻰ ﻛﺮاس اﻷﻧﺸﺔﻄ
2 ( إﻧﺸﺎء B’ و C’ ﺻﻮرﺗﻲ B و C ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ I
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
6
ـ ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ I ھﻮ اﻟﻤﺜﺚﻠ IB’ C’
ـ ﻃﺒﯿﻌﺔ اﻟﻤﺜﺚﻠ IB’C’ ھﻮ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻘﺎﯾﺲ اﻷﻼﺿ ع و ھﻮ ﯾﻘﺎﯾﺲ اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC إذن ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺎﺣﺘﯿﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﺎن
3 ( ﻣﻮﻊﻗ I’ ﺻﻮةر I ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب ھﻮ ﻣﻨﺘﺼﻒ ] C’B’ [ نﻷ I ﻣﻨﺘﺼﻒ ] CB [ وﺻﻮرة ] CB [ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
ﻮھ ] C’B’ [
ـ إﻧﺸﺎء J’ و K’ ﺻﻮرﺗﻲ J و K ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﻌﻰﻄ
4 ( ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘ ﻘﯿﻢ ) JK ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﻌﻄﻰ ﻮھ ) J’K’ ( ﻷن ﻟﺪﯾﻨﺎ ﺻﻮةر ] AB [ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب ﻮھ ] IB’ [ و J
ﻣﻨﺘﺼﻒ ] AB [
وﻟﺪﯾﻨﺎ أﯾﺎﻀ J’ ﺻﻮةر J ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب ھﺬا ﯾﻌﻨﻲ نأ J’ ﻣﻨﺘﺼﻒ ] IB’ [
وﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ ﻧﺒﺮھﻦ نأ K’ ﻣﻨﺘﺼﻒ ] IC’ [
إذن ﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻨﺘﺼﻔﯿﻦ ﻓﺈن ) J’K’ )//( B’C’ (
5 ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ I :
ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC ھﻲ اﻟﻤﺜﺚﻠ IB’C’ ، ﺻﻮرة ﻛﻞ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﻮاﺳﻄﺔ إﻧﺴﺤﺎب ﻲھ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻢﯿ ﺗﻘﺎﯾﺴﮭﺎ ، إذن اﻟﻤﺜﻠﺜنﺎ
ABC و IB’C’ ھﻤﺎ ﻣﺜﻠﺜنﺎ ﻣﺘﻘﺎﯾﺴنﺎ و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻟﮭﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ
اﻟﻨﻘﺔﻄ I’ ﻲھ ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻀﻠﻊ ] B’C’ [ ﻷﻧﮭﺎ ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﺔﻄ I ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻟا ﻀﻠﻊ ] BC [
اﻟﻨﻘﻄﺘﻦﯿ J’ ، K’ ھﻤﺎ ﻣﻨﺘﺼﺎﻔ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ ] IB’ [ ] و IC’ [ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﻷﻧﮭﻤﺎ ﺻﻮرﺗﺎ اﻟﻨﻘﻄﺘﻦﯿ J و K ﻣﻨﺘﺼﻔﺎ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ ] AB [ و
] AC [ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ
ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) JK ( ﻲھ ) J’K’ ( ﻷن ﺻﻮرة ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﺈﻧﺴﺤﺎب ﻲھ ﻣﺴﺘﻘﻢﯿ وھﺬان اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤنﺎ ﻣﺘﻮازﯾنﺎ
اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) J’K’ ( و ) B’C’ ( ﻣﺘﻮاز ﯾﺎن نﻷ :
) B’C’ ( // ) BC ( نﻷ ) B’C’ ( ھﻮ ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) BC ( ﺑﺈﻧﺴﺤﺎب
و ) JK ( // ) BC ( نﻷ ) JK ( ھﻮ ﻣﺴﺘﻘﻢﯿ اﻟﻤﻨﺘﺼﻔﯿﻦ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC
إذن ) JK ( ) // B’C’ ( وﻋﻠﻤﺎ نأ ) J’K’ ( // ) JK (
ﻓﺈن ) J’K’ ( ﯾﻮازي ) B’C’ (
ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ 12 ص 183
ﺻﻮرﺗﻲ M و A ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل T إﻟﻰ A
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
7
1 ( ﺻﻮةر M ﻲھ P ) نﻷ M ھﻲ ﻣﻨﺘﺼﻒ ] TP [ إذن ) TM ) // ( MP ( و MP = TM (
ـ ﺻﻮةر A ﻲھ R ) ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ TMRA ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ (
2 ( ﺻﻮةر ] AM [ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل T إﻟﻰ A ﻲھ ] SR [ ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ASRM ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع وھﺬا نﻷ A ﻣﻨﺘﺼﻒ
] TS [
إذن ) TA )// ( AS ( و AS = TA
وﺻﻮرة M ﻲھ R ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
إذن ) MR ) // ( AS ( و AS = MR
ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ 14 ص 183
ﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻨﺘﺼﻔﯿﻦ ﻓﺈن ) MN )//( BC ( و BC
2
1
= MN
إذن ﺻﻮةر B ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل M إﻟﻰ N ﻲھ H ﻣﻨﺘﺼﻒ ] BC [ ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ MNHB ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ 15 ص 183
1 ( اﻷﻧﺸﺎء و إﻧﺠﺎز اﻟﺸﻜﻞ
2 ( ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
I ھﻲ ﺻﻮةر A ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
B’ ھﻲ ﺻﻮةر B ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
C’ ھﻲ ﺻﻮةر C ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
إذن ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب ھﻮ اﻟﻤﺜﺚﻠ IB’C’
3 ( اﻟﺒﺮھﺎن ﻋﻠﻰ نأ D ﻣﻨﺘﺼﻒ ] B’C’ [
ﻟﺪﯾﻨﺎ ] C’B’ [ ﻲھ ﺻﻮةر ] BC [ ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
وﻟﺪﯾﺎﻨ I ﻣﻨﺘﺼﻒ ] BC [ و نأ D ھﻲ ﺻﻮةر I ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب إذن ﻓﺈن ﺣﺴﺐ ﺧﻮاص اﻹﻧﺴﺤﺎب ﻓﺈن
D ﻣﻨﺘﺼﻒ ] B’C’ [
4 ( ﻃﺒﯿﻌﺔ اﻟﻤﺜﺚﻠ B’IC’
ﻟﺪﯾﻨﺎ اﻟﻨﻘﻂ D , I , A ﻋﻠﻰ إﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
8
و ) CB ) // ( C’B’ ( و ) AI ( ﻣﺤرﻮ ] BC [ ﻓﮭﻮ ﻣﺤرﻮ ] C’B’ [ وھﺬا ﯾﻌﻨﻲ نأ IC’ = IB’ ﻓﺎﻟﻤﺜﻠﺚ B’IC’ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ رأﮫﺳ I
ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ 16 ص 183
1 ( اﻟﺸﻜﻞ
2 ( B’ ﺻﻮةر B ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤﻮّل A إﻟﻰ C
إذن ACB’B ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
C’ ﺻﻮةر C ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ C
إذن ) CC’ ) // ( AC ( و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ اﻟﻨﻘﻂ C’ ,C , A
ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة و ﺑﻤﺎ نأ AC = CC’
ﻓﺈن C ھﻲ ﻣﻨﺘﺼﻒ ] AC’ [
3 ( ﻧﺒﺮھﻦ أن اﻟﻤﺜﺚﻠ B’C’C ﻗﺎﺋﻢ ﻲﻓ C
ﺑﻤﺎ أن اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC ﻗﺎﺋﻢ ﻲﻓ B
وﻟﺪﯾﻨﺎ ﺻﻮةر A ﺑﮭﺬا اﻻﻧﺴﺤﺎب ﻲھ C وﺻﻮرة C ﻲھ C’ وﺻﻮرة B ﻲھ B’ ﻓﺎﻟﻤﺜﻠﺚ B’C’C ﻗﺎﺋﻢ ﻲﻓ B’ ) ﺣﺴﺐ ﺧﻮصا
اﻹﻧﺴﺤﺎب ( ﯾﺤﻔﻆ اﻟﺰواﯾﺎ
وﺑﺘﻄﺒﯿﻖ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس ﻓﺈن
2
‘ ‘C B +
2
‘C B =
2
‘ CC
2
‘ ‘C B + 16 = 36
16 – 36 =
2
‘ ‘C B
20 =
2
‘ ‘C B
4.4 = 20 = B’C’
ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ 17 ص 183
1 ( ﺗﺤﺪﯾﺪ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة ) C’ ( ﺻﻮةر ) C ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤﻮّل O إﻟﻰ A
ـ ﻧﻌﻠﻢ أن ﺻﻮرة داﺋﺮة ﻣﺮﻛﺰﺎھ O ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب ھﻲ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ھﻲ ﺻﻮةر O ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﺬﻛﻮر ﺣﯿﺚ ﺑﻌﺪ ﻣﺮﻛﺰﺎھ
ﻦﻋ O ھﻲ ﻧﻔﺴﮭﺎ OA
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
9
إذن اﻟﺪاﺋﺮة ) C’ ( ﻣﺮﻛﺰھﺎ ﻮھ A
2 ( إﺛﺒﺎت أن اﻟﻨﻘﺔﻄ O ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ) C’ (
اﻟﻨﻘﺔﻄ A ﻣﺮﺰﻛ ) C’ ( إذن OA ھﻮ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰﺎھ A ھﺬا ﯾﻌﻨﻲ نأ
O ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ) C’ (
ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ 18 ص 184
ﻟﺪﯾﻨﺎ O’ ھﻲ ﺻﻮةر O و B ﺻﻮةر A ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل O إﻟﻰ O’ ﻓﺎﻟﺮﺑﺎﻲﻋ OO’BA ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ﻓﯿﮫ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ
] O’A [ و ] O’B [ ﻣﺘﻘﺎﺑﻼن
إذن ﻓﮭﻤﺎ ﻣﺘﻘﺎﯾﺴﺎن يأ OA = O’B
ﺑﻤﺎ نأ A ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﺪاﺋﺮة ) C ( و اﻟﺪاﺋﺮة ) C’ ( ھﻲ ﺻﻮةر ) C ( ﺑ َﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب ﻓﺈن ﺻﻮةر A يأ B ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ) C’ (
ﺣﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ 19 ص 184
1 ( رﺳﻢ اﻟﺸﻜﻞ ﺑﻜﻞ ﻋﻨﺎﯾﺔ ودﺔﻗ ) ﺑﺈﺳﺘﻌﻤﺎل اﻷﻟﻮنا (
2 ( ﺣﺴﺎب اﻟﻘﯿﺲ B A I ˆ
اﻟﻤﺜﺚﻠ ABI ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ إذن G A I ˆ = B A I ˆ
ﻷﻧﮭﻤﺎ زاوﯾﺘﻲ اﻟﻘﺎﻋﺪة
) AB ( ^ ) IG ( إذن اﻟﻤﺜﺚﻠ IAG ﻗﺎﺋﻢ ﻲﻓ G
وﻣﻦ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ IG = 3 cm
و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ 0.8 = ى
5
4
=
AI
AG
= G A I ˆ cos = B A I ˆ cos
ﺑﺈﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ 36.86° » G A I ˆ
ـ إﺳﺘﻨﺘﺎج أن اﻟﺰاوﯾﺔ B I A ˆ ﻣﻨﻔﺮﺔﺟ
اﻟﻤﺜﺚﻠ AIB ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ ) ﻓﺮﺎﺿ (
ﻣﻦ اﻟﺤﺴﺎب اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﺪﯾﻨﺎ
) 73°.72 = 36°:86 × 2 = ( G A I ˆ + B A I ˆ
أي أن ﻣﺠﻤﻮع زاوﯾﺘﻲ اﻟﻘﺎﻋﺪة أﺻﻐﺮ ﻣﻦ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ إذن زاوﯾﺔ اﻟﺮأس B I A ˆ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﻓﮭﻲ ﻣﻨﻔﺮﺔﺟ
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
10
3 ( ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻮﺻ ّر اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤتﺎ ) AH ( و ) BH ( ) و IH ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ D
ﻣﻦ اﻟﻤﻌﻠﻮم أﻧﮫ ﻟﺘﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮرة ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﺈﻧﺴﺤﺎب ﻣﺎ ﯾﻜﻔﻲ ﺗﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮةر ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ﻣﻦ ھﺬا اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﻟﺬا ﯾﻜﻔﻲ أن ﻧﻌﯿﯿﻦ ﻣﻦ ﻞﻛ
ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ وﺗﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮرﺗﯿﮭﻤﺎ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﺬﻛﻮر أو ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻧﻘﻄﺔ و ﻣﻨﺤﻰ ﺛﻢ ﺗﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻷن ﻣﻨﺤﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ
ﻣﻌﻠﻮم ، وأن اﻹﻧﺴﺤﺎب ﯾﺤﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮازي و ﯾﺤﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ اﻟﺰواﯾﺎ و ﯾﺤﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻌﺎﻣﺪ
ـ ﻧﻼﺣﻆ أن اﻟﻨﻘﺔﻄ H ھﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻼﻗﻲ إرﺗﻔﺎﻋﺎت اﻟﻤﺜﺚﻠ AIB
ﺗﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) AH (
) HA ( ھﻮ ﺣﺎﻣﻞ اﻹرﺗﻔﺎع اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻀﻊﻠ ] AI [
إذن ) HA ( ^ ) BI (
ـ اﻟﻨﻘﺔﻄ D ھﻲ ﺻﻮةر A ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤﻮّل A إﻟﻰ D
ـ A ﻧﻘﺔﻄ ) HA ( و ) HA ( ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ) BI (
إذن ﺻﻮةر ) HA ( ھﻮ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬي ﯾﺸﻞﻤ D و ﯾﻮازي ) HA ( يأ ) DF (
ﺗﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) HB (
ﺑﻄﺮﯾﻘﺔﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﻧﺒﺮھﻦ أن ﺻﻮةر ) HB ( ﺑﻨﻔﺲ اﻹﻧﺴﺤﺎب ﻮھ ) EC ( ﻋﻠﻤﺎ ً أن ﺻﻮةر B ﻲھ C (
ﺗﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) IH (
إن ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﺔﻄ I ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﻌﻄﻰ ھﻲ اﻟﻨﻘﺔﻄ G ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ IADG ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
) ﯾﻤﻜ ﻦ ﺑﺈﺳﺘﻌﻤﺎل ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس إﺛﺒﺎت نا ] AD [ ] و IG [ ﻣﺘﻘﺎﯾﺴﺘﺎن وھﻤﺎ أﯾﻀﺎ ً ﻣﺘﻮازﯾﺎن ﻷﻧﮭﻤﺎ ﻋﻤﻮدﯾﺎن ﻋﻠﻰ ) AB (
ـ اﻟﻨﻘﻂ H , G , I ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ إﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة ﻓﺈن ﺻﻮةر ) IH ( ﻲھ ) IG ( ﻷن اﻹﻧﺴﺤﺎب ﯾﺤﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ إﺳﺘﻘﺎﻣﯿﺔ اﻟﻨﻘﻂ
إذن ﺻﻮةر ) IH ( ﻲھ ) IH (
4 ( إﺳﺘﻨﺘﺎج نأ ) CE ( ) و DF ( ) و IG ( ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺔ
اﻟﻨﻘﺔﻄ H ھﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻼﻗﻲ اﻹرﺗﻔﺎﻋﺎت اﻟﺜﻼﺛﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺚﻠ AIB اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤتﺎ ) CE ( و ) DF ( و ) IG ( ھﻲ ﺻﻮر إرﺗﻔﺎﻋﺎت ھﺬا
اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤبﺎ
إذن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤتﺎ ) CE ( و ) DF ( و ) IG ( ﺗﺘﻼﻗﻰ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻨﻘﻄﺔ وھﻲ ﺻﻮةر H ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
11
ﺣﻞ ﻣﺴﺄﻟﺔ 20 ص 184
1 ( اﻟﻨﻘﺔﻄ N’ ھﻲ ﺻﻮةر N ﺎﺑ ﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ M ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ AMN’N ﻣﺘﻮازي اﺿعﻼ
2 ( اﻟﻨﻘﺔﻄ P ‘ ھﻲ ﻧﻈﯿﺮة M ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ A وﯾﻤﻜﻦ أن ﻧﻘﻮل نأ A ھﻲ ﺻﻮةر P ﺑﻨﻔﺲ اﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺴﺎﻖﺑ ) ﻻﺣﻆ أن اﻟﻨﻘﻂ P
و A و M ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ إﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة (
ـ A’ ﻧﻈﯿﺮة N ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ A إذن AA’ = NA
و ) NA ) // ( AA’ (
3 ( أﻧﺸﺎء اﻟﻨﻘﺔﻄ P’ اﻟﺘﻲ ﺻﻮرﺗﺎﮭ A’ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ M
إذن اﻟﻨﻘﺔﻄ A’ ھﻲ ﺻﻮةر P’ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﺬﻛﻮر وﻣﻨﮫ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ P’A’MA ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
4 ( ﻟﺪﯾﻨﺎ A ﺻﻮةر P وأن A’ ﺻﻮةر P’ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﻧﻔﺲ اﻹﻧﺴﺤﺎب إذن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ AA’P’P ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
5 ( اﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤﻮّل A’ إﻟﻰ M ، ﯾﺤﻮ لّ P’ إﻟﻰ A ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ A’MAP’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ﺣﺴﺐ اﻟﺒﺮھﺎن اﻟﺜﺎﺚﻟ
ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب ﯾﺤ ﻮّل أﯾﺎﻀ A إﻟﻰ N’ وﯾ ﻮﺤّل P إﻟﻰ N ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ PAN’N ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ﻧﺮﺗﺐ ھﺬه اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﻛﺎﻵﺗﻲ :
اﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A’ إﻟﻰ M ﯾﺤ ﻮّل أﯾﺎﻀ
M A’
A P’
N P
N’ A
إذن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ MANN’ ھﻮ ﺻﻮرة اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ A’P’PA ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
ـ ﺑﻤﺎ أن اﻹﻧﺴﺤﺎب ﯾﺤﻔﻆ اﻷﺷﻜﺎل و ﺑﻤﺎ نأ MANN’ ھﻮ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ﻓﺈن A’P’PA أﯾﺎﻀ " ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ـ ﻋﻠﻤﺎ أن اﻹﻧﺴﺤﺎب ﯾﺤﻔﻆ اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت ﻓﺈن اﻟﺮﺑﺎﻋﯿﺎن ﻟﮭﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
12
ﺣﻞ ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 185 ﻣﻦ إﺧﺘﺒﺮ ﻣﻜﺘﺴﺒﺎﻚﺗ
1 ( اﻟﺘﻤﻌﻦ ﻲﻓ اﻟﻤﺠﺴﻤتﺎ
2 (
اﻟﻤﺠﻢﺴ إﺳﮫﻤ ﻋﺪد
اﻷوﺟﮫ
اﻟﺠﺎﻧﺒﺔﯿ
ﻋﺪد
ﻗﻮاﻋهﺪ
ﻋﺪد
اﻷﺣﺮف
اﻟﺠﺎﻧﺒﺔﯿ
ﻋﺪد
اﻷﺣﺮف
اﻟﻜﻠﺔﯿ
ﻋﺪد
رؤوﺳﮫ
) 1 (
وايز
ﻣﺴﺘﻄﯿﻼت
6 2 4 12 8
) 2 (
أﺳﻄﻮاﻧﺔ
دوران
2 2 0 0 0
) 3 (
ﻣﻮﺷﻮر
ﻗﺎﻢﺋ
7 2 5 15 10
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 186
1 ( ﻧﻌﻢ
اﻟﺼﻮرة ھﻲ أھﺮاﻣﺎت اﻟﺠﯿﺰة ﺑﻤﺮﺼ
2 ( اﻷﺷﯿءﺎ اﻟﻮاردة ﻓﻲ اﻟﻮﺼ ّر ھﻲ ﻣﺠﺴﻤﺎت ﻣﺮﻛﺒﺔ
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 186
1 ( وﺻﻒ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﮭﺮم و اﻟﻤﻮﺷﻮر اﻟﻘﺎﻢﺋ
ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﺘﺸﺎﺑﮫ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﻲھ : اﻟﻘﻮاﻋﺪ و اﻷوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺴﻤﯿﻦ ھﻲ ﻣﻀﻠﻌتﺎ
ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻹﺧﺘفﻼ
اﻟﮭﺮم اﻟﻤﻮﺷﻮر اﻟﻘﺎﻢﺋ
ـ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ واﺣﺪة ) وھﻲ ﻣﻀﻊﻠ ( ـ ﻗﺎﻋﺘنﺎ ) وھﻤﺎ ﻣﻀﻠﻌﺎ ن (
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
13
ـ أوﺟﮭﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻣﺜﻠﺜﺎت ـ أوﺟﮭﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻣﺴﺘﻄﯿﻼت
ـﺎﻷوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﺗﺸﺘﺮك ـ أوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻋﻤﻮدﯾﺔ ﻋﻠﻰ
ﻓﻲ رأس واﺣﺪ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ
2 ( s ﻗ ،ﻤﺔ اﻟﮭﺮم SC و SB أﺣﺮف اﻟﮭﺮم ، اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ABCD ﻗ ،ﺎﻋﺪة اﻟﮭﺮم A و D رؤوس اﻟﮭﺮم ، اﻟﻤﺜﺚﻠ SAB وﺟﮫ
ﺟﺎﻧﺒﻲ
اﻟﺸﻜﻞ اﻟﮭﻨﺪﺳﻲ ﻟﻘﺎﻋﺪة ھﺬا اﻟﮭﺮم ھﻮ ﻣﻀﻊﻠ
ـ اﻷﺷﻜﺎل اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ اﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ﻟﻠﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﮭﺬا اﻟﻤﺠﺴﻢ ھﻲ ﻣﺜﻠﺜتﺎ
ﻧﺸطﺎ ) 3 ( ص 186
1 ( أھﺮاﻣﺎت ارﺗﻔﺎﻋﮭﺎ ﯾﺸﻤﻞ اﻟﮭﺮم و ﻣﺮﻛﺰ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻣﺜﻞ اﻟﮭﺮم ) 1 (
ـ أھﺮاﻣﺎت ارﺗﻔﺎﻋﮭﺎ ﯾﺸﻤﻞ رأس اﻟﮭﺮم وﻻ ﯾﺸﻤﻞ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻣﺜﻞ اﻟﮭﺮم ) 2 (
2 ( أھﺮاﻣﺎت ﻗﺎﻋﺪﺗﮭﺎ ﻣﻀﻠﻊ ﻣﻨﺘﻈﻢ ) ﻗﺎﻋﺪة اﻟﮭﺮم ) 1 ( ﻣﺮﻊﺑ (
أھﺮاﻣﺎت ﻗﺎﻋﺘﮭﺎ ﻟﯿﺴﺖ ﻣﻀﻠﻊ ﻣﻨﺘﻈﻢ ) ﻗﺎﻋﺪة اﻟﮭﺮم ) 3 ( ﻣﺴﺘﻄﻞﯿ (
ﯾﺘﻢ اﻟﺘﻤﯿﯿﺰ ﻓﻲ ھﺬا اﻟﺴﺆال أﯾﻀﺎ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت اﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ﻟﻸوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﻟﮭﺮﻣﯿﻦ .
ﻓﻲ اﻟﮭﺮم ) 1 ( ﻛﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ﻣﻘﺎﯾﺔﺴ
ﻓﻲ اﻟﮭﺮم ) 2 ( اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ﻛﻠﮭﺎ ﻣﻘﺎﯾﺔﺴ
3 ( ﻓﻲ ھﺬا اﻟﺴﺆال ﻗﺒﻞ إﺗﻤﺎم اﻟﻨﺺ ﯾﻄﻠﺐ ﺗﻌﻠﯿﻞ ﺗﻘﺎﯾﺲ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت اﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ﻟﻸوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻠﮭﺮم ) 1 ( اﻟﺬي ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻣﺮﺑﻊ و ﻋﺪم
ﺗﻘﺎﯾﺲ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت اﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ﻟﻸوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻠﮭﺮم ) 2 ( اﻟﺬي ﻗﺎﻋﺪﻧﮫ ﻣ ﺴﺘﻄﯿﻞ
ﯾﻤﻜﻦ ذﻟﻚ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ
* ﻗﺎﻋﺪة اﻟﮭﺮم ) 1 ( ﻣﻀﻠﻊ ﻣﻨﺘﻈﻢ ) ﻣﺮﻊﺑ ( و إرﺗﻔﺎﻋﮫ ﯾﺸﻤﻞ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻧﻘﻮل أﻧﮫ ھﺮم ﻣﻨﺘﻈﻢ
* أوﺟﮭﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻣﺜﻠﺜﺎت ﻣﺘﻘﺎﯾﺴﺔ و ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ
4 ( إن اﻟﮭﺮﻣﯿﻦ ) b ( و ) c ( ﻣﻨﺘﻈﻤﯿﻦ
) b ( ﻗﺎﻋﺘﮫ ﻣﺮﺑﻊ و إرﺗﻔﺎﻋﮫ ﯾﺸﻤﻞ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻘﺎﻋﺪة
) c ( ﻗﺎﻋﺘﮫ ﻣﺜﺚﻠ ﻣﺘﻘﺎﯾﺲ اﻷﺿﻼع وإرﺗﻔﺎﻋﮫ ﯾﺸﻤﻞ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻘﺎﻋﺪة
أﻣﺎ اﻟﮭﺮﻣﯿﻦ ) a ( و ) d ( ﻓﮭﻤﺎ ﻟﯿﺲ ﻣﻨﺘﻈﻤﯿﻦ نﻷ ) ارﺗﻔﺎﻋﯿﮭﻤﺎ ﻻ ﯾﺸﻤﻼن ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻘﺎﻋﺪة
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
14
ﻣﻨﺎﻗﺸﺔ ﺗﻤﺮﯾﻦ ) 1 ( ص 201
اﻟﻤﺠﺴﻤﺎت اﻟﺒﺴﯿﻄﺔ ﻲھ :
) 1 ( ھﺮم ﻗﺎﻋﺘﮫ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻘﺎﯾﺲ اﻷﺿﻼع
) 3 ( ﻣ ،ﻮﺷﻮر ﻗﺎﻢﺋ ) 5 ( ھ ،ﺮم ﻗﺎﻋﺘﮫ ﻣﺮﻊﺑ ) 6 ( ھﺮم ﻗﺎﻋﺘﮫ ﺜﻣ ﺚﻠ
اﻟﻤﺠﺴﻤﺎت اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ﻲھ :
) 2 ( أ ،ﺳﻄﻮاﻧﺔ ﻏﻄﺎﺋﮭﺎ ﻣﺨﺮوط دوران ) 4 ( ﻣﺘﻮازي ﻣﺴﺘﻄﯿﻼت ﻏﻄﺎﺋﮫ ھﺮم
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 187
1 ( اﻟﻤﺠﺴﻤﺎت اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ﯾﻄﻠﺐ وﺻﻒ ﻛﻞ ﻣﻨﮭﺎ ﻣﻊ ذﻛﺮ إﺳﻢ ﻛﻞ ﻣﺠﺴﻢ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺴﻤﺎت اﻟﺘﻲ ﯾﺘﺮﻛﺐ ﻣﻨﺎﮭ
2 ( ﻣﻄﺎﻟﺒﺔ اﻟﺘﻼﻣﯿﺬ ذﻛﺮ أﺷﯿﺎء أﺧﺮى ﻟﮭﺎ ﺷﻜﻞ ﻣﺨﺮوط
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 188
1 ( ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﺘﺸﺎﺑﮫ : ھﻲ ﻗﺎﻋﺪة ﻛﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ ﻋﺒﺎرة ﻋﻦ ﻗﺮص
ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻹﺧﺘفﻼ
أﺳﻄﻮاﻧﺔ دوران ﻣﺨﺮوط دوران
ـ ﻗﺎﻋﺘﯿﻦ ﻛﻞ واﺣﺪةھﻲ ﻗﺮص ـ ﻗﺎﻋﺪة واﺣﺪةھﻲ ﻗﺮص
ـ أوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻋﻤﻮدﯾﺔ ﻋﻠﻰ ـ اﻷوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﺗﺸﺘﺮك
اﻟﻘﺎﻋ ﺪﺗﯿﻦ ﻓﻲ رأس واﺪﺣ
2 ( رأس اﻟﻤﺨﺮوط ، اﻟﻮﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ، اﻟﻘﺎﻋﺪة
ـ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﮭﻨﺪﺳﻲ ﻟﻠﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻠﻤﺠﺴﻢ ھﻮ ﺳﻄﺢ ﻣﻨﻦﺤ
ـ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﮭﻨﺪﺳﻲ ﻟﻘﺎﻋﺪة ھﺬا اﻟﻤﺠﺴﻢ ھﻮ ﻗﺮص
ﻧﺸطﺎ ) 3 ( ص 188
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
15
1 ( اﻟﺸﻜﻞ اﻟﮭﻨﺪﺳﻲ اﻟﺬي ﺗﺮﺳﻤﮫ اﻟﻨﻘﻄﺔ ھﻮ داﺋﺮة
[ OS 2 ( ا رﺗﻔﺎع اﻟﻤﺨﺮوط ) 5 ( ھﻮ اﻟﻘﻄﺔﻌ ]
( d اﻟﻲﺘ ﺣﺎﻣﻠﮭﺎ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ )
SM=SM’ ﻹﺛﺒﺎت نأ
ﻣﺘﻘﺎﯾﺴنﺎ SOM , SOM’ ﻧﺜﺒﺖ أن اﻟﻤﺜﻠﺜﻦﯿ
ـ ﻛﻞ ﻣﻮﻟﺪات اﻟﻤﺨﺮوط ﻣﻘﺎﯾﺔﺴ
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 189
ﻟﻢ ﺗﺴﺘﻌﻞﻤ ) ﻓﻲ ﻞﻛ اﻷﻣﺎﻛﻦ إﻟﺘﻲ ﯾﺠﺐ إﺳﺘﻌﻤﺎﻟﮭﺎ ( ﺗﻘﻨﯿﺔ اﻟﻤﻨﻈﻮر اﻟﻤﺘﺴﺎوي اﻟﻘﯿسﺎ . أﻧﻈﺮ اﻟﺸﻜﻞ ) 1 (
اﻟﺤﺮف ] SD [ ﯾﻜﻮن ﻣﻨﻘﻄﺎ ﻷﻧﮫ ﺧﻠﻒ اﻟﻮﺟﮭﯿﻦ SAB و SAC
ـ ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران اﻟﺸﻜﻞ ) 2 ( ﯾﺤﺘﻤﻞ إﺟﺎﺑﺘﯿﻦ وذﻟﻚ ﺣﺴﺐ ﻣﻮﻗﻊ اﻟﺮؤﺔﯾ
ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺮؤﯾﺔ ﻣﻦ اﻷﺳﻔﻞ ﻓﺈن اﻟﺮﺳﻢ ﺻﺤﺢﯿ
ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺮؤﯾﺔ ﻣﻦ اﻟﺠﺎﺐﻧ ﻓﺈن اﻟﺮﺳﻢ ﻟﯿﺲ ﺻﺤﯿﺤﺎ
ﺟﺰء ﻣﻦ اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻻ ﯾﺮى ﻷﻧﮫ ﯾﻘﻊ ﺧﻠﻒ اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 189
1 ( ﻻ ﺗﺮى ﻛﻞ أﺟﺰاء ھﺬﯾﻦ اﻟﻤﺠﺴﻤﻦﯿ
2 ( رﺳﻢ ھﺮم ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺑﺤﯿﺚ ﯾﻜﻮن ﻛﻞ ﺟﺰء ﻻ ﯾﺮى ﻣﻨﻂﻘ
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ﻣﻦ إﺧﺘﺒﺮ ﻣﻜﺘﺴﺒﺎﻚﺗ
) 1 ( اﻟﺘﺼﻤﯿﻤﺎن اﻟﺼﺤﯿﺤﺎن ھﻤﺎ a و c
اﻷﺧﻄﺎء اﻟﻮاردة ﻓﻲ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ اﻟﺨﺎﺊﻃ b ھﻮ أن اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﺠﮭﺔ و ﺣﺘﻰ ﯾﻜﻮن ﺻﺤﯿﺢ ﻧﺮﺳﻢ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﺟﮭﺔ
أﺧﺮى ﻟﻌﺮض اﻟﻤﺴﺘﻄﻞﯿ
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
16
) 2 ( اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ اﻟﺼﺤﯿﺢ ﻮھ : g
اﻷﺧﻄﺎء اﻟﻮاردة ﻓﻲ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ f ھﻮ أن اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻣﺮﺳﻮﻣﺔ ﻓﻲ اﻷﻋﻠﻰ وﺣﺘﻰ ﯾﻜﻮن اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ ﺻﺤﯿﺢ ﺗﺮﺳﻢ اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻓﻲ اﻟﺎﺠ ﻧﺐ و
ﻟﯿﺲ أﺳﻞﻔ
ـ اﻟﺨﻄﺄ اﻟﻮارد ﻓﻲ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ h اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ ﻏﯿﺮ ﻣﺮﺳﻮﻣﯿﻦ ﻓﻲ ﺟﺎﻧﺒﻲ اﻟﻤﺴﺘﻄﻞﯿ
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 192
ﻣﻼﺣﻈﺔ : ﺗﻜﻮن اﻷﻧﺸﻄﺔ ﻣﺤﻀﺮة ﻓﻲ اﻟﺒﯿﺖ
1 ( أﺣﺴﻦ ﻃﺮﯾﻘﺔ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺼﻤﯿﻢ ﻣﺠﺴﻢ ھﻮ اﻹﻧﻄﻼق ﻣﻦ ﻣﺠﺴﻢ ﺣﻘﯿﻘﻲ و ﯾﺴﺘﺤﺴﻦ إﺳﺘﻌﻤﺎل اﻷﻟﻮان ﻟﺘﻌﯿﯿﻦ أﺿعﻼ
اﻷﺷﻜﺎل اﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﻋﻦ ﻧﻔﺲ اﻟﺤﺮف ) ﻧﻔﺲ اﻟﻠّﻮن ﻟﻨﻔﺲ اﻟﺤﺮف (
ھﺬا ﻗﺒﻞ ﻧﺸﺮ أوﺟﮫ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻣﺠﺴﻤﻲ اﻟﺴﺆاﻟﻦﯿ 1 و 2 ﻣﻦ اﻟﻨﺸطﺎ
3 ( اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ اﻟﻮﺣﯿﺪ اﻟﺬي ﯾﻤﺜﻞ ﺗﺼﻤﯿﻤﺎ ﻟﻤﺨﺮوط دوراﻧﻲ ھﻮ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ ) 3 (
ـ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺘﺼﻤﯿﻢ ) 1 ( إذا ﺪﻋّل ) ﺑﻔﺼﻞ اﻟﻘﺮص ﻋﻦ ﻣﻜﺎﻧﮫ ﻣﺜﻼ ( ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺗﺼﻤﯿﻢ ﻟﻤﺨﺮوط دوراﻲﻧ
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 193
ﻲﻓ اﻟﺘﺼﺎﻣﯿﻢ اﻟﻤﻘﺪﻣﺔ ﻓﻲ ﻛﺘﺎب اﺗﻠﺘﻠﻤﯿﺬ ﺧﻠﻞ ﺗﻘﻨﻲ ﻟﺬا ﯾﻌﺎد ﺗﻘﺪﯾﻤﮭﺎ ﻓﻲ اﻟﺪﻟﻞﯿ
1 ـ اﻟﺘﺼﻤﯿﻤﺎن ) 1 ( ) و 2 ( ھﻤﺎ ﺗﺼﻤﯿﻤﺎن ﻟﮭﺮﻣﯿﻦ ﻣﻨﺘﻈﻤﯿﻦ ﯾﻄﻠﺐ ﻣﻦ اﻟﺘﻼﻣﯿﺬ ﺗﻌﻠﯿﻞ ذﻟﻚ
ـ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ ) 3 ( ﻟﯿﺲ ﺗﺼﻤﯿﻤﺎ ﻟﮭﺮم ﯾﻄﻠﺐ ﺗﻌﻠﯿﻞ ذﻟﻚ .
ﯾﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺼﻤﯿﻢ ﻟﮭﺮم ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺑﺘﻌﺪﯾﻞ ﻃﻔﯿﻒ ﻟﻤﻮاﻗﻊ ﺑﻌﺾ اﻷوﺟﮫ ﻓﯿﮫ
ـ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ ) 4 ( ﻟﯿﺲ ﺗﺼﻤﯿﻤﺎ ﻟﮭﺮم ﻣﻨﺘﻈﻢ ﯾﻄﻠﺐ ﺗﻌﻠﯿﻞ ذﻟﻚ
2 ـ ﯾﻤﻜﻦ اﻹﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠﻰ أﺣﺪ ﺗﺼﺎﻣﯿﻢ اﻟﺴﺆال اﻟﺴﺎﻖﺑ
أو ﺗﺮك اﻟﺤﺮﯾﺔ ﻟﻠﺘﻠﻤﯿﺬ ﻓﻲ إﻧﺠﺎز ﺗﺼﻤﯿﻢ آﺧﺮ ﻋﻠﻰ أن ﯾﻜﻮن ﺑﺎﻷﻃﻮال اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ﺛﻢ ﯾﺼﻨﻊ ھﺬا اﻟﮭﺮم
ﻧﺸطﺎ ) 3 ( ص 193
ﯾﺘﺒﯿّﻦ اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ ﻓﻲ اﻟﻨﺸطﺎ ) 1 ( ﻣﻦ اﻟﻔﻘﺮة ﻟﻠﺘﻮﻇﯿﻒ نأ اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻤﺨﺮوط دوراﻧﻲ ھﻮ ﻗﻄﺎع ﻗﺮص
1 ـ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﻇﮭﻮر ﺻﻌﻮﺑﺔ ﻣﺎ ﻟﺪى ﺑﻌﺾ اﻟﺘﻼﻣﯿﺬ ﯾﻤﻜﻦ رﺳﻢ اﻟﻤﺨﺮوط ﻋﻠﻰ اﻟﺴﺒﻮرة و إﺑﺮاز ﻋﻠﻰ ھﺬا اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﻤﺜﺚﻠ
SOM ﺑﺎﻠﻟ ّﻮن اﻷﺣﻤﺮ و ﻛﺬﻟﻚ رﻣﺰ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﻋﻨﺪ اﻟﺮأس O ﺑﮭﺬا ﻗﺪ ﯾﮭﺘﺪي اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ إﻟﻰ اﻹﺟﺎﺑﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺴﺆلا
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
17
2 ـ ﻓﻲ اﻟﻔﺮع اﻷول ﻣﻦ اﻟﺴﺆال ﯾﻄﻠﺐ ﺷﺮح ﺳﺒﺐ ﺗﺴﺎوي ﻃﻮل ﻗﻮس C B
)
و ﻣﺤﯿﻂ ﻗﺮص اﻟﻘﺎﻋﺪة ﺛﻢ ﯾﻄﻠﺐ إﺳﺘﻨﺘﺎج ﻃﻮل
ھﺬا اﻟﻘﻮس
* ﯾﻤﻜﻦ اﻹﻧﻄﻼق ﻣﻦ ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران وإﺗﺒﺎع ﻣﺮاﺣﻞ ﻧﺸﺮه ﺑﺎﻟﻘﺺ ﻣﺜﻠﻤﺎ ھﻮ وارد ﻓﻲ اﻟﺴﺆلا ) 2 ( ﻣﻦ اﻟﻨﺸطﺎ ) 1 (
ـ ﻟﻠﻮﺻﻮل ﻋﻤﻠﯿﺎ إﻟﻰ ﻓﮭﻢ ﺳﺒﺐ ﺗﺴﺎوي ﻃﻮل اﻟﻘﻮس C B
)
ﻣﻊ ﻣﺤﯿﻂ ﻗﺮص اﻟﻘﺎﻋﺪة ) ﻋﻨﺪ ﻣﺤﺎوﻟﺔ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺼﻤﯿﻢ
اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪوراﻧﻲ ﺳﻮف ﯾﻼﺣﻆ أن ﻗﻮس ﻗﻄﺎع اﻟﻘﺮص اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻣﺘﻄﺎﺑﻖ ﻣﻊ ﻣﺤﯿﻂ ﻗﺮص اﻟﻘﺎﻋﺪة (
ـ ﺑﻤﺎ أن ﻃﻮل اﻟﻘﻮس C B
)
ﯾﺴﺎوي ﻣﺤﻂﯿ ﻗﺮص اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻓﺈن ﻃﻮل اﻟﻘﻮس C B
)
ﻮھ cm p 12 = cm p ´ ´6 2
ـ ﻓﻲ اﻟﻔﺮع اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻣﻦ اﻟﺴﺆلا ) ﺑﻮﺿﻊ اﻟﺤﺮف S ﺑﺪﻻ ﻦﻣ A ( ﯾﺘﯿﺒ ّﻦ ﻟﻠﺘﻠﻤﯿﺬ أن ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻃﻮل ﻗﻮس اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻠﻤﺨﺮوط
ﻻﯾﻜﻔﻲ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﮭﺬا اﻟﻤﺨﺮوط
ـ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﺮص ) ﻃﻮل اﻟﺪاﺋﺮة ( اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰﺎھ S وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ 10cm ﻮھ cm p 20 = cm p × 10 × 2
إذا ﻛﺎن x ھﻮ ﻗﯿﺲ زاﯾو ﺔ اﻟﻘﻄﺎع ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺟﺪول اﻟﺘﻨﺎﺳﺒﯿﺔ
216° =
p
p
20
360 12 ´ ´
= x
ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻗﯿﺲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ ﻟﻠﻘﻄﺎع اﻟﺘﻲ ﺗﺤﺼﺮ اﻟﻘﻮس C B
)
ﻮھ 216°
ـ ﺑﺎﻻﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت اﻟﺘﻲ اﺳﺘﻨﺘﺠﺖ ﻣﻦ اﻟﺴﺆال اﻟﺴﺎﺑﻖ ﯾﻤﻜﻦ إﻧﺠﺎز ﺗﺼﻤﯿﻢ ﻟﻠﻤﺨﺮوط اﻟﻤﻄﻠﻮب
ﯾﺘﻜﻮن ھﺬا اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ ﻦﻣ
ـ ﻗﺎﻋﺪة ھﻲ ﻗﺮص ﻗﻄهﺮ 6cm
ـ ﺳﻄﺢ ﺟﺎﻧﺒﻲ ھﻮ ﻗﻄﺎع ﻗﺮص ﻗﯿﺲ زاوﯾﺘﮫ اﻟﻤﺮﻛﺰﺔﯾ 216° وﻧﺼﻒ ﻗﻄهﺮ 10cm ﻟﺼﻨﻊ اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﻤﻄﻠﻮب ﺑﺴﮭﻮﺔﻟ
ﯾﺴﺘﺤﺴﻦ ﺗﺮك أﺷﺮﻃﺔ ﻟﺼﻖ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ
4 ـ ﯾﺘﻮﺻﻞ اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ ﻋﺒﺮ ھﺬا اﻟﺴﺆال إﻟﻰ ﻋﻼﻗﺔ ﺑﺴﯿﻄﺔ ﺗﺴﻤﺢ ﻟﮫ ﺑﺤﺴﺎب ﻗﯿﺲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺮﻛ ﺰﯾﺔ ﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻤﺨﺮطو
دوراﻲﻧ
ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت اﻟﻮاردة ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ و اﻋﺘﻤﺎدا ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت اﻟﻮاردة ﻓﻲ اﻹﻃﺎر ) ﻛﺘﺎب اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ ( ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺟﺪلو
اﻟﺘﻨﺎﺳﺒﯿﺔ اﻵﻲﺗ
ﻗﯿﺲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻲﺘ
ﺗﺤﺼﺮ اﻟﻘﻮس ) ° (
360° x
ﻃﻮل اﻟﻘﻮس ) cm ( p × L × 2 p × r × 2
ﯾﻨﺘﺞ ﻣﻦ ﺟﺪول اﻟﺘﻨﺎﺳﺒﯿﺔ
x 360
12
p
20
p
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
18
360 ×
L
r
= 360 ×
L
r
´
´
2
2
=
p
p
´ ´
´ ´ ´
L
r
2
360 2
= x
اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻌﻄﯿﻨﺎ ﻗﯿﺲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ ﻟﻘﻄﺎع اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻤﺨﺮوط دوراﻧﻲ ﻲھ 360 ×
L
r
= x
ﺣﯿﺚ r ھﻮ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺮص اﻟﻘﺎﻋﺪة
L ھﻮ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺬي ﯾﻤﺜﻞ اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻠﻤﺨﺮوط
ﺑﺈﺳﺘﻌﻤﺎل ھﺬه اﻟﻌﻼﻗﺔ ﻟﺤﺴﺎ ب ﻗﯿﺲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﺔﯾ x ) اﻟﺴﺆلا ) 2 (( ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻨﺎﺗﺞ ﺑﺎﻟﻔﻌﻞ ﻟﺪﯾﻨﺎ
r = 6cm و L = 10cm إذن
210° = 6 × 36 =
10
6
× 360 = 360 ×
L
r
= x
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 194
1 ـ ﻗﺒﻞ اﻟﺘﻄﺮق ﻟﻠﻔﺮع اﻷول ﻻ ﺑﺪّ ﻣﻦ اﻟﺘﺄﻛﺪ أن اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ ﻋﻠﻰ ﻋﻠﻢ ﺑﺄن إرﺗﻔﺎع ھﺮم ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻗﺎﻋﺪة ھﺬا اﻟﮭﺮم و ﯾﺸﻤﻞ رأﮫﺳ
ﺣﺴﺎب اﻹرﺗﻔﺎع اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻘﺎﻋةﺪ ] AB [ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺚﻠ ShB
ﯾﺮﺳﻢ اﻟﮭﺮم ﻋﻠﻰ اﻟﺴﺒﻮرة وﯾﺒﺮز اﻟﻤﺜﺚﻠ SBh ﻣﺜﻼ
و ﯾﺴﺘﻌﻤﻞ رﻣﺰ اﻟﺰاوﯾﺔاﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ﺑﺎﻠﻟ ّﻮن اﻷﺣﻤﺮ ﺛﻢ ﻧﺤﺴﺐ اﻹرﺗﻔﺎع
ﺣﺴﺎب اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻠﮭﺮم اﻟﻤﻌﺘﺒﺮ
ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ اﻟﺘﻔﻄﻦ إﻟﻰ اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺔ اﻟﻮاردة ﻓﻲ اﻹﻃﺎر ) ﻛﺘﺎب اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ (
2 ـ ﯾﻄﻠﺐ ﻣﻦ اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ أن ﯾﻮﺿﺢ ﻣﺎھﻮ اﻟﻤﺮاد ﺑﺎﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻤﺠﺴﻢ ﺛﻢ ﻧﺤﺴﺐ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻄﻠﻮﺑ ﺔ
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 194
1 ـ ﻣﺴﺎﺣﺔ ھﺬا اﻟﻘﺮص
2
10 × p = B وﻣﮫﻨ p 100 = B
2 ـ
360
10 360
10
5 . 4
2
´ ´ ´ p
= y وﻣﮫﻨ p 10 × 4.5 = y
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
19
وﻣﮫﻨ p 45 = y
3 ـ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪوران اﻟﻤﻌﯿ ّﻦ ﻲھ :
p 45 = y
ﻧﺸطﺎ ) 3 ( ص 195
1 ـ ﺑﻌﺪ ﺣﺴﺎب ﻃﻮل ﺣﺮف اﻟﮭﺮم ﺑﺈﺳﺘﻌﻤﺎل ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮسر
2 ـ و إﻧﺠﺎز ﺗﺼﻤﯿﻢ ﻟﻠﮭﺮم ﺑﺄﻛﺒﺮ دﻗﺔ ﻣﻤﻜﻨﺔ
3 ـ و ﺑﻌﺪ ﺻﻨﻊ اﻟﻤﻜﻌﺐ ﺑﺎﻟﻄﺮﯾﻘﺔ اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ﯾﺴﺘﻨﺘﺞ أن ﻃﻮل ﺣﺮف اﻟﻤﻜﻌﺐ اﻟﻤﺼﻨﻮع ﻮھ 8cm
4 ـ ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﻤﻜﻌﺐ ﻧﺎﺗﺞ ﻋﻦ ﺗﺮﻛﯿﺐ 6 أھﺮاﻣﺎت
ﻟﮭﺎ ﻧﻔﺲ اﻷﺑﻌﺎد ﺳﻮف ﯾﺴﺘﻨﺘﺞ اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ أن ﺣﺠﻢ اﻟﮭﺮم ﻮھ :
ﺳﺪس ﺣﺠﻢ اﻟﻤﻜﻌﺐ اﻟﺬي أﺑﻌﺎهد 8cm ,8cm , 8cm
يأ
3
cm
3
8 ×
6
1
وﺑﻌﺪ ﻛﺘﺎﺑﺔ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺴﻤﺢ ﺑﺤﺴﺎب ھﺬا اﻟﺤﺠﻢ ﺑﺎﻟﻜﯿﻔﯿﺔ اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ يأ ) 8 ×
2
1
( × )
2
8 ( ×
3
1
ﺣﯿﺚ
2
cm
2
8 ھﻲ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﻜﺐﻌ
و 8 ×
2
1
ھﻮ إرﺗﻔﺎع اﻟﮭﺮم و ھﻮ أﯾﻀﺎ ً ﻧﺼﻒ إرﺗﻔﺎع اﻟﻤﻜﺐﻌ
ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن ﺣﺠﻢ ﻛﻞ ھﺮم ﻣﻦ اﻷھﺮاﻣﺎت اﻟﺴﺘﺔ ﻮھ
) ﺛﻠﺚ ﺟﺪاء ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﮭﺮم و إرﺗﻔﺎﻋﮫ (
5 ـ إﻧﻄﻼﻗﺎ ﻣﻦ ﻛﻞ ﻣﺎ ﺳﺒﻖ ﻣﻦ إﻧﺠﺎز و ﺻﻨﻊ و ﺣﺴبﺎ
ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ اﻟﻘﺎﻋﺪة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﺤﺴﺎب ﺣﺠﻢ ھﺮم وھﻲ :
h × B ×
3
1
= V ﺣﯿﺚ ﯾﺮﺰﻣ
B إﻟﻰ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﮭﺮم و h إﻟﻰ إرﺗﻔﺎع اﻟﮭﺮم
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
20
ﻧﺸطﺎ ) 4 ( ص 196
ﻋﻠﻤﺎ أن ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة ﻮھ 2cm ﻓﺈن ﻣﺤﯿﻄﮭﺎ ﻮھ
p × 2 × 2 أي ﺣﻮاﻟﻲ 12.56cm
ﻧﻼﺣﻆ أﻧﮫ ﻛﻠﻤﺎ زاد ﻋﺪد أﺿﻼع ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻛﻠﻤﺎ ﻛﺒﺮ ﻣﺤﯿﻄﮫ و اﻗﺘﺮﺑﺖ ﻣﻦ ﻃﻮل اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺤﯿﻄﺔ ﺑﮫ يأ 12.56cm
ﻛﻠﻤﺎ ﻛﺒﺮت ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ و إﻗﺘﺮﺑﺖ ﻣﻦ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺮص اﻟﻤﺤﺪد ﺑﮭﺬه اﻟﺪاﺋﺮة يأ
2
cm 12.566
ـ ﻻﺣﻈﻨﺎ أن اﺿﻼع اﻟﻤﻀﻠﻌﺎت اﻟﻤﻨﺘﻈﺔﻤ ) 1 ( ) و 2 ( ) و 3 ( و ) 4 ( ﻧﻘﺘﺮب ﺷﯿﺊ ﻓﺸﯿﺊ ﻣﻦ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﺮص
وﻣﻊ إﺗﻤﺎم رﺳﻢ اﻷھﺮاﻣﺎت اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ﻧﻼﺣﻆ أن اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﮭﺬه اﻷھﺮاﻣﺎت ﯾﻘﺘﺮب ﺑﺪوره ﻣﻦ ﺳﻄﺢ ﻣﻨﺤﻦ أي ﻣﻦ اﻟﺴﻄﺢ
اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪوران
ﻣﻤﺎ ﺳﺒﻖ ﯾﻤﻜﻦ أن ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن ﺣﺠﻢ ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران ﻮھ
H × B ×
3
1
= V
ﺣﯿﺚ ﯾﺮﺰﻣ B إﻟﻰ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺮص ) ﻗﺎﻋﺪة ( اﻟﻤﺨﺮوط و h إﻟﻰ إرﺗﻔﺎع ھﺬا اﻟﻤﺨﺮوط
ﺗﺠﺮﺑﺔ : ﯾﺴﺘﻨﺘﺞ ﻣﻦ ﺧﻼﻟﮭﺎ ﻗﺎﻋﺪة ﻟﺤﺴﺎب ﺣﺠﻢ ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران
اﻟﻨﺸﺎط ﯾﺘﻄﻠﺐ ورق ﻣﻘﻮى و ﻣﺴﺤﻮق ﻣﻠﺢ أو ﺳﻜﺮ أورﻣﻞ
1 ـ أﺻﻨﻊ أﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﺪوران و ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران ﻗﺎﻋﺪﺗﮭﻤﺎ ﻗﺮﺻﺎن ﻧﺼﻔﻲ ﻗﻄﺮﯾﮭﻤﺎ 3cm و ارﺗﻔﺎﻋﮭﻤﺎ 10cm ) ﯾﻠﻔﺖ إ ﻧﺘﺒﺎه
اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ إﻟﻰ ﻗﺎﺑﻠﯿﺔ ﺗﻄﺎﺑﻖ ﻗﺎﻋﺪﺗﻲ اﻟﻤﺠﺴﻤﯿﻦ و ﺗﺴﺎوي إرﺗﻔﺎﻋﯿﮭﺎﻤ
2 ـ إﻣﻸ ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران ﺑﺎﻟﻤﺴﺤﻮق ﺣﺘﻰ اﻟﺤﺎﻓﺔ ﻟﻜﻦ دون ﺗﻜﺪﯾﺲ ﺛﻢ أﺳﻜﺐ ﻣﺤﺘﻮاه ﻓﻲ اﻷﺳﻄﻮاﺔﻧ
ﻛﺮر اﻟﻌﻤﻠﯿﺔ ﻋﺪد ﻣﻦ اﻟﻤﺮات اﻟﻼزﻣﺔ ﺣﺘﻰ ﺗﻤﺘﻠﺊ اﻷﺳﻄﻮاﺔﻧ
ـ ﻣﺎھﻮ ﻋﺪد اﻟﻤﺮات اﻟﺘﻲ ﻣﻸت ﻓﯿﮭﺎ اﻟﻤﺨﺮوط ﻟﻜﻲ ﺗﻤﺘﻸ ا ﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ ؟
ـ أﺣﺴﺐ ﺣﺠﻢ اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ ﺑﺄﺧﺬ ﻣﺤﺘﻮى اﻟﻤﺨﺮوط ﻛﻮﺣﺪة ﻟﻠﻘﯿﺎس ﺛﻢ ـﺑ
3
cm ؟
ـ إﺳﺘﻨﺘﺞ ﺣﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط ﺑﺪﻻﻟﺔ ﺣﺠﻢ اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ ـﺑ
3
cm ؟
أﻧﻘﻞ اﻟﻨﺺ ﺛﻢ أﺗﻤﻤﮫ
إذا ﻛﺎن ﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﺪوران و اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪوران ………..
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
21
ﻗﺎﺑﻠﺘﺎن ﻟﻠﻤﻄﺎﺑﻘﺔ و ﺎﻛ ن ﻟﮭﻤﺎ ﻧﻔﺲ ………. ﻓﺈن :
ﺣﺠﻢ ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران ﯾﺴﺎوي …….. ﺣﺠﻢ أﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﺪوران .
ﺑﻌﺪ ھﺬا ﯾﺴﺘﻨﺘﺞ اﻟﻘﺎﻋﺪة :
إذا ﻛﺎﺖﻧ B ھﻲ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ وﻛنﺎ h اﻹرﺗﻔﺎع اﻟﻤﺸﺘﺮك ﻟﮭﺬﯾﻦ اﻟﻤﺠﺴﻤﯿﻦ ﻓﺈن : h × B × ……. = ….
ﻣﻨﺎﻗﺔﺸ ) 1 ( و ) 2 ( ) و 3 ( ) و 4 ( ﻣﻦ إﺧﺘﺒﺮ ﻣﻜﺘﺴﺒﺎﻚﺗ
) 1 ( إﻧﺸﺎء ﻣﺘﻮايز اﻷﺿﻼع ABCD
إﺧﺮاج اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎت اﻟﻤﺘﻮازﯾﺔ و اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﺘﻘﺎﯾﺴﺔ ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ
) 2 ( ﯾﻮﺪﺟ 7 ﻣﺘﻮازﯾﺎت أﺿعﻼ
) 3 ( ﯾﻮﺟﺪ أرﺑﻊ ﻣﺘﻮازﯾﺎت أﺿﻼع رؤوﺳﮭﺎ اﻟﻨﻘﻂ
D , C , B , A
) 4 ( ﻧﻘﻞ اﻟﺸﻜﻞ و إﻧﺸﺎء ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع ABFG
و AKBG
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 172
) اﻟﻌﻤﻞ ﯾﻜﻮن ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﻣﺮﺻﻮﻓﺔ و ﺗﺤﻀﺮ ﻓﻲ اﻟﺒﯿﺖ (
ـ اﻟﻤﻄﻠﻮب ﻣﻦ اﻟﺘﻼﻣﯿﺬ أن ﯾﺸﺮﺣاﻮ ﻟﺰﻣﻼﺋﮭﻢ ﻛﯿﻒ أﻧﺠﺰوا اﻟﻌﻤﻞ
* إن إﺳﺘﻌﻤﺎل ﻣﺮﺑﻌﺎت اﻟﻤﺮﺻﻮﻓﺔ ﯾﺴﺎﻋﺪ ﻋﻠﻰ إﻧﺠﺎز اﻟﻌﻤﻞ وﯾﻜﻮن ذﻟﻚ ﺑﺈﻋﺘﺒﺎر ﻗﻄﻊ اﻟﺸﻜﻞ ﻛﺄﺿﻼع أو أﻗﻄﺎر ﻟﻤﺘﻮازﯾﺎت
أﺿﻼع ﯾﺠﺪدھﺎ اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ و إﻋﺘﺒﺎر ﻃﻮل اﻟﻤﺮﺑﻊ اﻟﺼﻐﯿﺮ اﻟﺬي ﺗﺘﺸﻜﻞ ﻣﻨﮫ اﻟﻤﺮﺻﻮﻓﺔ ﻛﻮﺣﺪة ﻟﻸﻃﻮلا .
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 172
اﻟﻌﻤﻞ ﯾﻜﻮن ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﺮﻣ ﺻﻮﺔﻓ
ـ رﺳﻢ اﻟﺸﻜﻞ ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﻣﺮﺻﻮﻓﺔ ﺣﯿﺚ ﺗﻮﺿﻊ اﻟﻨﻘﻂ C , B , A وﻛﻞ اﻟﻨﻘﻂ اﻷﺧﺮى ﻋﻠﻰ رؤوس ﻣﺮﺑﻌﺎت اﻟﻤﺮﺻﻮﺔﻓ
1 ( اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ABB’A’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ وﻣﻨﮫ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ AA’B’B ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ـ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ BCC’B’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ وﻣﻨﮫ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ AA’C’C ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ـ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ CDD’C’ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼ ع وﻣﻨﮫ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ
AA’D’D ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ـ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ DEE’D’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ وﻣﻨﮫ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
3
AA’E’E ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
2 ( اﻟﻨﻘﺔﻄ B ﻟﯿﺴﺖ ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﺔﻄ B’ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ A’
ـ اﻟﻨﻘﺔﻄ C ﻟﯿﺴﺖ ﺻﻮةر B ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﺬﻛﻮر ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ CBA’A ﻟﯿﺲ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
) اﻟﻘﻄﺔﻌ ] CB [ ﻻﺗﻮايز اﻟﻘﻄﺔﻌ ] AA’ ( [
Jـ ﻟﯿﺴﺖ ﺻﻮةر I ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﺬﻛﻮر ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ JIA’A ﻟﯿﺲ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ ) اﻟﻘﻄﺔﻌ ] CB [ ﻻ ﺗﻘﺎﯾﺲ اﻟﻘﻄﺔﻌ ] AA’ [
3 ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ A’ ، B’ ھﻲ ﺻﻮةر B و C’ ھﻲ ﺻﻮةر C و D’ ﻲھ ﺻﻮةر D
4 ( B’ ھﻲ ﺻﻮةر B ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ A’ ﻓﺈن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ABB’A’ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع وﻋﻠﯿﮫ
) AB ) // ( A’B’ (
BC = B’C’ ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ BCC’B’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
5 ( ) AE // ( (A’E’) و ) BE ( ) // B’E’ (
BD = B’D’ و AC = A’C’
C B A ˆ = ‘ ‘
ˆ
‘ C B A و C D E ˆ = ‘ ‘
ˆ
‘ C D E
ﺣﻞ ﻧﺸطﺎ ) 5 ( ﻦﻣ إﺧﺘﺒﺮ ﻣﻜﺘﺴﺒﺎﻚﺗ
1 ( AB +BC < AC ، AB + AC < BC
BI + CI = BC
2 ( إذا ﻛﺎن AD +DB = AB ﯾﻜﻮن ﻣﻮﻊﻗ D ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻄﺔﻌ ] AB [
ﻧﺸطﺎ ) 3 ( ص 173
ھﺬا اﻟﻨﺸﺎط ﯾﻜﻮن ﻣﺤﻀﺮ ﻓﻲ اﻟﺒﯿﺖ ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﻣﻠﯿﻤﺘﺮﺔﯾ
ـ اﻟﻤﻄﻠﻮب ﻣﻦ اﻟﺘﻼﻣﯿﺬ ﺷﺮح ﻛﯿﻔﯿﺔ ﻋﻤﻠﯿﺔ اﻟﺘﺒﻠﯿﻂ اﻟﺘﻲ ﺗﻤﺖ ﻋﻠﻰ اﻟﻮرﻗﺔ اﻟﻤﻠﯿﻤﺘﺮﺔﯾ
ـ اﻟﺒﻼﺔﻃ 2 ھﻲ ﺻﻮرة اﻟﺒﻼﺔﻃ 1 ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ A إﻟﻰ B
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
4
ـ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ C إﻟﻰ D اﻟﺒﻼﺔﻃ 4 ھﻲ ﺻﻮرة اﻟﺒﻼﺔﻃ 3
ﻧﺸطﺎ ) 4 ( ص 173
1 ( ﻧﻘﻞ اﻟﻘﻄﺔﻌ ] AB [ واﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ C و D ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﺑﯿﻀﺎء
2 ( M ﻧﻘﻄﺔ ﻛﯿﻔﯿﺔ ﻦﻣ ] AB [
ـ إﻧﺸﺎء اﻟﻨﻘﻂ A’ و B’ و M’ ﻮﺻّر A و B و M ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ D إﻟﻰ C
ـ ﺻﻮرة اﻟﻘﻄﺔﻌ ] AB [ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ D إﻟﻰ C ھﻲ اﻟﻘﻄﺔﻌ ] A’B’ [
ﻧﺸطﺎ ) 5 ( ص 173
1 ( ﻧﻘﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) d ( و اﻟﻨﻘﻄﺘﻦﯿ A و B ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﺑﯿﻀﺎء
2 ( M ، N ﻧﻘﻄﺘﺎن ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﺎن ﻦﻣ ) d (
3 ( ﻧﺸﺎء اﻟﻨﻘﻄﺘﻦﯿ M’ و N’ ﺻﻮرﺗﻲ M و N ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ A إﻟﻰ B
ﺛﻢ رﺳﻢ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) M’N’ (
ـ ﻃﺒﯿﻌﺔ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ MNN’M’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﻦﯿ ) d ( و ) M’N’ ( ﻣﺘﻮازﯾنﺎ
ـ ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) d ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ A إﻟﻰ B ھﻮ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) M’N’ (
ﻣﻨﺎﻗﺸﺔ ﺗﻤﺮﯾﻦ 11 ص 182
ـ ﺻﻮةر ) AB ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤﻮّل E إﻟﻰ F ﻮھ ) HF (
ـ ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﺚﻠ HAE ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ O ھﻮ اﻟﻤﺜﺚﻠ GOF
ﻧﺸطﺎ ) 6 ( ص 174
1 ( ﻧﻘﻞ ﻧﺼﻒ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) OX [ واﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ A و B ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﺑﯿﻀﺎء
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
5
ـ أﺧﺬ ﻧﻘﺔﻄ M ﻦﻣ ) OX [
ـ إﻧﺸﺎء O’ و M’ ﺻﻮرﺗﻲ O و M ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ B
ـ ﺻﻮةر ) OX [ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ A إﻟﻰ B ھﻮ ﻧﺼﻒ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) O’M’ [ اﻟﺬي ﯾﻮازﯾﮫ وﻟﮫ ﻣﻌﮫ ﻧﻔﺲ اﻹﺗﺠهﺎ
ﻧﺸطﺎ ) 7 ( ص 174
ﻧﻘﻞ اﻟﺸﻜﻞ ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﺑﯿﻀﺎء
ـ M ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﺪاﺋﺮة ) C (
ـ إﻧﺸﺎء O’ و M’ ﺻﻮرﺗﻲ O و M ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ B
ـ ﻃﺒﯿﻌﺔ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ OMM’O’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ـ اﻟﻄﻮل O’M’ ھﻮ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة ) C’ ( اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰﺎھ O’
ـ ﻣﻮﻗﻊ اﻟﻨﻘﺔﻄ M’ ھﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﺪاﺋﺮة ) C’ (
ـ ﺻﻮرة اﻟﺪاﺋﺮة ) C ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ B ھﻮ اﻟﺪاﺋﺮة ) C’ (
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 177
ﯾﻜﻮن ھﺬا اﻟﻨﺸﺎط ﻣﺤﻀﺮ ﻓﻲ اﻟﺒﯿﺖ ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﻣﺮﺻﻮﻓﺔ ﻣﻊ ﺿﺮورة إﺣﻀﺎر ورﻗﺔ ﺷﻔﺎﻓﺔ ﻣﺮﺳﻮم ﻋﻠﯿﮭﺎ اﻟﺴﯿﺎرة
ـ ﻣ ﻼﺣﺔﻈ : اﻟﺴﯿﺎرة ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺘﻄﺎﺑﻖ ﻣﻊ ﺻﻮرﺗﺎﮭ
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 177
1 ( رﺳﻢ اﻟﺸﻜﻞ ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﺑﯿﻀﺎء أو ﻋﻠﻰ ﻛﺮاس اﻷﻧﺸﺔﻄ
2 ( إﻧﺸﺎء B’ و C’ ﺻﻮرﺗﻲ B و C ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ I
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
6
ـ ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ I ھﻮ اﻟﻤﺜﺚﻠ IB’ C’
ـ ﻃﺒﯿﻌﺔ اﻟﻤﺜﺚﻠ IB’C’ ھﻮ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻘﺎﯾﺲ اﻷﻼﺿ ع و ھﻮ ﯾﻘﺎﯾﺲ اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC إذن ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺎﺣﺘﯿﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﺎن
3 ( ﻣﻮﻊﻗ I’ ﺻﻮةر I ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب ھﻮ ﻣﻨﺘﺼﻒ ] C’B’ [ نﻷ I ﻣﻨﺘﺼﻒ ] CB [ وﺻﻮرة ] CB [ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
ﻮھ ] C’B’ [
ـ إﻧﺸﺎء J’ و K’ ﺻﻮرﺗﻲ J و K ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﻌﻰﻄ
4 ( ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘ ﻘﯿﻢ ) JK ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﻌﻄﻰ ﻮھ ) J’K’ ( ﻷن ﻟﺪﯾﻨﺎ ﺻﻮةر ] AB [ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب ﻮھ ] IB’ [ و J
ﻣﻨﺘﺼﻒ ] AB [
وﻟﺪﯾﻨﺎ أﯾﺎﻀ J’ ﺻﻮةر J ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب ھﺬا ﯾﻌﻨﻲ نأ J’ ﻣﻨﺘﺼﻒ ] IB’ [
وﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ ﻧﺒﺮھﻦ نأ K’ ﻣﻨﺘﺼﻒ ] IC’ [
إذن ﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻨﺘﺼﻔﯿﻦ ﻓﺈن ) J’K’ )//( B’C’ (
5 ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ I :
ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC ھﻲ اﻟﻤﺜﺚﻠ IB’C’ ، ﺻﻮرة ﻛﻞ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﻮاﺳﻄﺔ إﻧﺴﺤﺎب ﻲھ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻢﯿ ﺗﻘﺎﯾﺴﮭﺎ ، إذن اﻟﻤﺜﻠﺜنﺎ
ABC و IB’C’ ھﻤﺎ ﻣﺜﻠﺜنﺎ ﻣﺘﻘﺎﯾﺴنﺎ و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻟﮭﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ
اﻟﻨﻘﺔﻄ I’ ﻲھ ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻀﻠﻊ ] B’C’ [ ﻷﻧﮭﺎ ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﺔﻄ I ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻟا ﻀﻠﻊ ] BC [
اﻟﻨﻘﻄﺘﻦﯿ J’ ، K’ ھﻤﺎ ﻣﻨﺘﺼﺎﻔ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ ] IB’ [ ] و IC’ [ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﻷﻧﮭﻤﺎ ﺻﻮرﺗﺎ اﻟﻨﻘﻄﺘﻦﯿ J و K ﻣﻨﺘﺼﻔﺎ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ ] AB [ و
] AC [ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ
ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) JK ( ﻲھ ) J’K’ ( ﻷن ﺻﻮرة ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﺈﻧﺴﺤﺎب ﻲھ ﻣﺴﺘﻘﻢﯿ وھﺬان اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤنﺎ ﻣﺘﻮازﯾنﺎ
اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) J’K’ ( و ) B’C’ ( ﻣﺘﻮاز ﯾﺎن نﻷ :
) B’C’ ( // ) BC ( نﻷ ) B’C’ ( ھﻮ ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) BC ( ﺑﺈﻧﺴﺤﺎب
و ) JK ( // ) BC ( نﻷ ) JK ( ھﻮ ﻣﺴﺘﻘﻢﯿ اﻟﻤﻨﺘﺼﻔﯿﻦ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC
إذن ) JK ( ) // B’C’ ( وﻋﻠﻤﺎ نأ ) J’K’ ( // ) JK (
ﻓﺈن ) J’K’ ( ﯾﻮازي ) B’C’ (
ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ 12 ص 183
ﺻﻮرﺗﻲ M و A ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل T إﻟﻰ A
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
7
1 ( ﺻﻮةر M ﻲھ P ) نﻷ M ھﻲ ﻣﻨﺘﺼﻒ ] TP [ إذن ) TM ) // ( MP ( و MP = TM (
ـ ﺻﻮةر A ﻲھ R ) ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ TMRA ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ (
2 ( ﺻﻮةر ] AM [ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل T إﻟﻰ A ﻲھ ] SR [ ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ASRM ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع وھﺬا نﻷ A ﻣﻨﺘﺼﻒ
] TS [
إذن ) TA )// ( AS ( و AS = TA
وﺻﻮرة M ﻲھ R ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
إذن ) MR ) // ( AS ( و AS = MR
ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ 14 ص 183
ﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻨﺘﺼﻔﯿﻦ ﻓﺈن ) MN )//( BC ( و BC
2
1
= MN
إذن ﺻﻮةر B ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل M إﻟﻰ N ﻲھ H ﻣﻨﺘﺼﻒ ] BC [ ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ MNHB ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ 15 ص 183
1 ( اﻷﻧﺸﺎء و إﻧﺠﺎز اﻟﺸﻜﻞ
2 ( ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
I ھﻲ ﺻﻮةر A ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
B’ ھﻲ ﺻﻮةر B ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
C’ ھﻲ ﺻﻮةر C ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
إذن ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب ھﻮ اﻟﻤﺜﺚﻠ IB’C’
3 ( اﻟﺒﺮھﺎن ﻋﻠﻰ نأ D ﻣﻨﺘﺼﻒ ] B’C’ [
ﻟﺪﯾﻨﺎ ] C’B’ [ ﻲھ ﺻﻮةر ] BC [ ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
وﻟﺪﯾﺎﻨ I ﻣﻨﺘﺼﻒ ] BC [ و نأ D ھﻲ ﺻﻮةر I ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب إذن ﻓﺈن ﺣﺴﺐ ﺧﻮاص اﻹﻧﺴﺤﺎب ﻓﺈن
D ﻣﻨﺘﺼﻒ ] B’C’ [
4 ( ﻃﺒﯿﻌﺔ اﻟﻤﺜﺚﻠ B’IC’
ﻟﺪﯾﻨﺎ اﻟﻨﻘﻂ D , I , A ﻋﻠﻰ إﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
8
و ) CB ) // ( C’B’ ( و ) AI ( ﻣﺤرﻮ ] BC [ ﻓﮭﻮ ﻣﺤرﻮ ] C’B’ [ وھﺬا ﯾﻌﻨﻲ نأ IC’ = IB’ ﻓﺎﻟﻤﺜﻠﺚ B’IC’ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ رأﮫﺳ I
ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ 16 ص 183
1 ( اﻟﺸﻜﻞ
2 ( B’ ﺻﻮةر B ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤﻮّل A إﻟﻰ C
إذن ACB’B ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
C’ ﺻﻮةر C ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ C
إذن ) CC’ ) // ( AC ( و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ اﻟﻨﻘﻂ C’ ,C , A
ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة و ﺑﻤﺎ نأ AC = CC’
ﻓﺈن C ھﻲ ﻣﻨﺘﺼﻒ ] AC’ [
3 ( ﻧﺒﺮھﻦ أن اﻟﻤﺜﺚﻠ B’C’C ﻗﺎﺋﻢ ﻲﻓ C
ﺑﻤﺎ أن اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC ﻗﺎﺋﻢ ﻲﻓ B
وﻟﺪﯾﻨﺎ ﺻﻮةر A ﺑﮭﺬا اﻻﻧﺴﺤﺎب ﻲھ C وﺻﻮرة C ﻲھ C’ وﺻﻮرة B ﻲھ B’ ﻓﺎﻟﻤﺜﻠﺚ B’C’C ﻗﺎﺋﻢ ﻲﻓ B’ ) ﺣﺴﺐ ﺧﻮصا
اﻹﻧﺴﺤﺎب ( ﯾﺤﻔﻆ اﻟﺰواﯾﺎ
وﺑﺘﻄﺒﯿﻖ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس ﻓﺈن
2
‘ ‘C B +
2
‘C B =
2
‘ CC
2
‘ ‘C B + 16 = 36
16 – 36 =
2
‘ ‘C B
20 =
2
‘ ‘C B
4.4 = 20 = B’C’
ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ 17 ص 183
1 ( ﺗﺤﺪﯾﺪ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة ) C’ ( ﺻﻮةر ) C ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤﻮّل O إﻟﻰ A
ـ ﻧﻌﻠﻢ أن ﺻﻮرة داﺋﺮة ﻣﺮﻛﺰﺎھ O ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب ھﻲ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ھﻲ ﺻﻮةر O ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﺬﻛﻮر ﺣﯿﺚ ﺑﻌﺪ ﻣﺮﻛﺰﺎھ
ﻦﻋ O ھﻲ ﻧﻔﺴﮭﺎ OA
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
9
إذن اﻟﺪاﺋﺮة ) C’ ( ﻣﺮﻛﺰھﺎ ﻮھ A
2 ( إﺛﺒﺎت أن اﻟﻨﻘﺔﻄ O ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ) C’ (
اﻟﻨﻘﺔﻄ A ﻣﺮﺰﻛ ) C’ ( إذن OA ھﻮ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰﺎھ A ھﺬا ﯾﻌﻨﻲ نأ
O ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ) C’ (
ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ 18 ص 184
ﻟﺪﯾﻨﺎ O’ ھﻲ ﺻﻮةر O و B ﺻﻮةر A ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل O إﻟﻰ O’ ﻓﺎﻟﺮﺑﺎﻲﻋ OO’BA ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ﻓﯿﮫ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ
] O’A [ و ] O’B [ ﻣﺘﻘﺎﺑﻼن
إذن ﻓﮭﻤﺎ ﻣﺘﻘﺎﯾﺴﺎن يأ OA = O’B
ﺑﻤﺎ نأ A ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﺪاﺋﺮة ) C ( و اﻟﺪاﺋﺮة ) C’ ( ھﻲ ﺻﻮةر ) C ( ﺑ َﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب ﻓﺈن ﺻﻮةر A يأ B ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ) C’ (
ﺣﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ 19 ص 184
1 ( رﺳﻢ اﻟﺸﻜﻞ ﺑﻜﻞ ﻋﻨﺎﯾﺔ ودﺔﻗ ) ﺑﺈﺳﺘﻌﻤﺎل اﻷﻟﻮنا (
2 ( ﺣﺴﺎب اﻟﻘﯿﺲ B A I ˆ
اﻟﻤﺜﺚﻠ ABI ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ إذن G A I ˆ = B A I ˆ
ﻷﻧﮭﻤﺎ زاوﯾﺘﻲ اﻟﻘﺎﻋﺪة
) AB ( ^ ) IG ( إذن اﻟﻤﺜﺚﻠ IAG ﻗﺎﺋﻢ ﻲﻓ G
وﻣﻦ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ IG = 3 cm
و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ 0.8 = ى
5
4
=
AI
AG
= G A I ˆ cos = B A I ˆ cos
ﺑﺈﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ 36.86° » G A I ˆ
ـ إﺳﺘﻨﺘﺎج أن اﻟﺰاوﯾﺔ B I A ˆ ﻣﻨﻔﺮﺔﺟ
اﻟﻤﺜﺚﻠ AIB ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ ) ﻓﺮﺎﺿ (
ﻣﻦ اﻟﺤﺴﺎب اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﺪﯾﻨﺎ
) 73°.72 = 36°:86 × 2 = ( G A I ˆ + B A I ˆ
أي أن ﻣﺠﻤﻮع زاوﯾﺘﻲ اﻟﻘﺎﻋﺪة أﺻﻐﺮ ﻣﻦ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ إذن زاوﯾﺔ اﻟﺮأس B I A ˆ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﻓﮭﻲ ﻣﻨﻔﺮﺔﺟ
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
10
3 ( ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻮﺻ ّر اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤتﺎ ) AH ( و ) BH ( ) و IH ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ D
ﻣﻦ اﻟﻤﻌﻠﻮم أﻧﮫ ﻟﺘﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮرة ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﺈﻧﺴﺤﺎب ﻣﺎ ﯾﻜﻔﻲ ﺗﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮةر ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ﻣﻦ ھﺬا اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﻟﺬا ﯾﻜﻔﻲ أن ﻧﻌﯿﯿﻦ ﻣﻦ ﻞﻛ
ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ وﺗﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮرﺗﯿﮭﻤﺎ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﺬﻛﻮر أو ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻧﻘﻄﺔ و ﻣﻨﺤﻰ ﺛﻢ ﺗﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻷن ﻣﻨﺤﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ
ﻣﻌﻠﻮم ، وأن اﻹﻧﺴﺤﺎب ﯾﺤﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮازي و ﯾﺤﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ اﻟﺰواﯾﺎ و ﯾﺤﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻌﺎﻣﺪ
ـ ﻧﻼﺣﻆ أن اﻟﻨﻘﺔﻄ H ھﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻼﻗﻲ إرﺗﻔﺎﻋﺎت اﻟﻤﺜﺚﻠ AIB
ﺗﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) AH (
) HA ( ھﻮ ﺣﺎﻣﻞ اﻹرﺗﻔﺎع اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻀﻊﻠ ] AI [
إذن ) HA ( ^ ) BI (
ـ اﻟﻨﻘﺔﻄ D ھﻲ ﺻﻮةر A ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤﻮّل A إﻟﻰ D
ـ A ﻧﻘﺔﻄ ) HA ( و ) HA ( ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ) BI (
إذن ﺻﻮةر ) HA ( ھﻮ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬي ﯾﺸﻞﻤ D و ﯾﻮازي ) HA ( يأ ) DF (
ﺗﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) HB (
ﺑﻄﺮﯾﻘﺔﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﻧﺒﺮھﻦ أن ﺻﻮةر ) HB ( ﺑﻨﻔﺲ اﻹﻧﺴﺤﺎب ﻮھ ) EC ( ﻋﻠﻤﺎ ً أن ﺻﻮةر B ﻲھ C (
ﺗﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) IH (
إن ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﺔﻄ I ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﻌﻄﻰ ھﻲ اﻟﻨﻘﺔﻄ G ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ IADG ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
) ﯾﻤﻜ ﻦ ﺑﺈﺳﺘﻌﻤﺎل ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس إﺛﺒﺎت نا ] AD [ ] و IG [ ﻣﺘﻘﺎﯾﺴﺘﺎن وھﻤﺎ أﯾﻀﺎ ً ﻣﺘﻮازﯾﺎن ﻷﻧﮭﻤﺎ ﻋﻤﻮدﯾﺎن ﻋﻠﻰ ) AB (
ـ اﻟﻨﻘﻂ H , G , I ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ إﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة ﻓﺈن ﺻﻮةر ) IH ( ﻲھ ) IG ( ﻷن اﻹﻧﺴﺤﺎب ﯾﺤﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ إﺳﺘﻘﺎﻣﯿﺔ اﻟﻨﻘﻂ
إذن ﺻﻮةر ) IH ( ﻲھ ) IH (
4 ( إﺳﺘﻨﺘﺎج نأ ) CE ( ) و DF ( ) و IG ( ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺔ
اﻟﻨﻘﺔﻄ H ھﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻼﻗﻲ اﻹرﺗﻔﺎﻋﺎت اﻟﺜﻼﺛﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺚﻠ AIB اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤتﺎ ) CE ( و ) DF ( و ) IG ( ھﻲ ﺻﻮر إرﺗﻔﺎﻋﺎت ھﺬا
اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤبﺎ
إذن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤتﺎ ) CE ( و ) DF ( و ) IG ( ﺗﺘﻼﻗﻰ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻨﻘﻄﺔ وھﻲ ﺻﻮةر H ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
11
ﺣﻞ ﻣﺴﺄﻟﺔ 20 ص 184
1 ( اﻟﻨﻘﺔﻄ N’ ھﻲ ﺻﻮةر N ﺎﺑ ﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ M ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ AMN’N ﻣﺘﻮازي اﺿعﻼ
2 ( اﻟﻨﻘﺔﻄ P ‘ ھﻲ ﻧﻈﯿﺮة M ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ A وﯾﻤﻜﻦ أن ﻧﻘﻮل نأ A ھﻲ ﺻﻮةر P ﺑﻨﻔﺲ اﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺴﺎﻖﺑ ) ﻻﺣﻆ أن اﻟﻨﻘﻂ P
و A و M ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ إﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة (
ـ A’ ﻧﻈﯿﺮة N ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ A إذن AA’ = NA
و ) NA ) // ( AA’ (
3 ( أﻧﺸﺎء اﻟﻨﻘﺔﻄ P’ اﻟﺘﻲ ﺻﻮرﺗﺎﮭ A’ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ M
إذن اﻟﻨﻘﺔﻄ A’ ھﻲ ﺻﻮةر P’ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﺬﻛﻮر وﻣﻨﮫ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ P’A’MA ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
4 ( ﻟﺪﯾﻨﺎ A ﺻﻮةر P وأن A’ ﺻﻮةر P’ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﻧﻔﺲ اﻹﻧﺴﺤﺎب إذن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ AA’P’P ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
5 ( اﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤﻮّل A’ إﻟﻰ M ، ﯾﺤﻮ لّ P’ إﻟﻰ A ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ A’MAP’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ﺣﺴﺐ اﻟﺒﺮھﺎن اﻟﺜﺎﺚﻟ
ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب ﯾﺤ ﻮّل أﯾﺎﻀ A إﻟﻰ N’ وﯾ ﻮﺤّل P إﻟﻰ N ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ PAN’N ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ﻧﺮﺗﺐ ھﺬه اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﻛﺎﻵﺗﻲ :
اﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A’ إﻟﻰ M ﯾﺤ ﻮّل أﯾﺎﻀ
M A’
A P’
N P
N’ A
إذن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ MANN’ ھﻮ ﺻﻮرة اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ A’P’PA ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
ـ ﺑﻤﺎ أن اﻹﻧﺴﺤﺎب ﯾﺤﻔﻆ اﻷﺷﻜﺎل و ﺑﻤﺎ نأ MANN’ ھﻮ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ﻓﺈن A’P’PA أﯾﺎﻀ " ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ـ ﻋﻠﻤﺎ أن اﻹﻧﺴﺤﺎب ﯾﺤﻔﻆ اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت ﻓﺈن اﻟﺮﺑﺎﻋﯿﺎن ﻟﮭﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
12
ﺣﻞ ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 185 ﻣﻦ إﺧﺘﺒﺮ ﻣﻜﺘﺴﺒﺎﻚﺗ
1 ( اﻟﺘﻤﻌﻦ ﻲﻓ اﻟﻤﺠﺴﻤتﺎ
2 (
اﻟﻤﺠﻢﺴ إﺳﮫﻤ ﻋﺪد
اﻷوﺟﮫ
اﻟﺠﺎﻧﺒﺔﯿ
ﻋﺪد
ﻗﻮاﻋهﺪ
ﻋﺪد
اﻷﺣﺮف
اﻟﺠﺎﻧﺒﺔﯿ
ﻋﺪد
اﻷﺣﺮف
اﻟﻜﻠﺔﯿ
ﻋﺪد
رؤوﺳﮫ
) 1 (
وايز
ﻣﺴﺘﻄﯿﻼت
6 2 4 12 8
) 2 (
أﺳﻄﻮاﻧﺔ
دوران
2 2 0 0 0
) 3 (
ﻣﻮﺷﻮر
ﻗﺎﻢﺋ
7 2 5 15 10
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 186
1 ( ﻧﻌﻢ
اﻟﺼﻮرة ھﻲ أھﺮاﻣﺎت اﻟﺠﯿﺰة ﺑﻤﺮﺼ
2 ( اﻷﺷﯿءﺎ اﻟﻮاردة ﻓﻲ اﻟﻮﺼ ّر ھﻲ ﻣﺠﺴﻤﺎت ﻣﺮﻛﺒﺔ
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 186
1 ( وﺻﻒ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﮭﺮم و اﻟﻤﻮﺷﻮر اﻟﻘﺎﻢﺋ
ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﺘﺸﺎﺑﮫ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﻲھ : اﻟﻘﻮاﻋﺪ و اﻷوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺴﻤﯿﻦ ھﻲ ﻣﻀﻠﻌتﺎ
ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻹﺧﺘفﻼ
اﻟﮭﺮم اﻟﻤﻮﺷﻮر اﻟﻘﺎﻢﺋ
ـ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ واﺣﺪة ) وھﻲ ﻣﻀﻊﻠ ( ـ ﻗﺎﻋﺘنﺎ ) وھﻤﺎ ﻣﻀﻠﻌﺎ ن (
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
13
ـ أوﺟﮭﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻣﺜﻠﺜﺎت ـ أوﺟﮭﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻣﺴﺘﻄﯿﻼت
ـﺎﻷوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﺗﺸﺘﺮك ـ أوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻋﻤﻮدﯾﺔ ﻋﻠﻰ
ﻓﻲ رأس واﺣﺪ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ
2 ( s ﻗ ،ﻤﺔ اﻟﮭﺮم SC و SB أﺣﺮف اﻟﮭﺮم ، اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ABCD ﻗ ،ﺎﻋﺪة اﻟﮭﺮم A و D رؤوس اﻟﮭﺮم ، اﻟﻤﺜﺚﻠ SAB وﺟﮫ
ﺟﺎﻧﺒﻲ
اﻟﺸﻜﻞ اﻟﮭﻨﺪﺳﻲ ﻟﻘﺎﻋﺪة ھﺬا اﻟﮭﺮم ھﻮ ﻣﻀﻊﻠ
ـ اﻷﺷﻜﺎل اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ اﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ﻟﻠﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﮭﺬا اﻟﻤﺠﺴﻢ ھﻲ ﻣﺜﻠﺜتﺎ
ﻧﺸطﺎ ) 3 ( ص 186
1 ( أھﺮاﻣﺎت ارﺗﻔﺎﻋﮭﺎ ﯾﺸﻤﻞ اﻟﮭﺮم و ﻣﺮﻛﺰ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻣﺜﻞ اﻟﮭﺮم ) 1 (
ـ أھﺮاﻣﺎت ارﺗﻔﺎﻋﮭﺎ ﯾﺸﻤﻞ رأس اﻟﮭﺮم وﻻ ﯾﺸﻤﻞ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻣﺜﻞ اﻟﮭﺮم ) 2 (
2 ( أھﺮاﻣﺎت ﻗﺎﻋﺪﺗﮭﺎ ﻣﻀﻠﻊ ﻣﻨﺘﻈﻢ ) ﻗﺎﻋﺪة اﻟﮭﺮم ) 1 ( ﻣﺮﻊﺑ (
أھﺮاﻣﺎت ﻗﺎﻋﺘﮭﺎ ﻟﯿﺴﺖ ﻣﻀﻠﻊ ﻣﻨﺘﻈﻢ ) ﻗﺎﻋﺪة اﻟﮭﺮم ) 3 ( ﻣﺴﺘﻄﻞﯿ (
ﯾﺘﻢ اﻟﺘﻤﯿﯿﺰ ﻓﻲ ھﺬا اﻟﺴﺆال أﯾﻀﺎ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت اﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ﻟﻸوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﻟﮭﺮﻣﯿﻦ .
ﻓﻲ اﻟﮭﺮم ) 1 ( ﻛﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ﻣﻘﺎﯾﺔﺴ
ﻓﻲ اﻟﮭﺮم ) 2 ( اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ﻛﻠﮭﺎ ﻣﻘﺎﯾﺔﺴ
3 ( ﻓﻲ ھﺬا اﻟﺴﺆال ﻗﺒﻞ إﺗﻤﺎم اﻟﻨﺺ ﯾﻄﻠﺐ ﺗﻌﻠﯿﻞ ﺗﻘﺎﯾﺲ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت اﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ﻟﻸوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻠﮭﺮم ) 1 ( اﻟﺬي ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻣﺮﺑﻊ و ﻋﺪم
ﺗﻘﺎﯾﺲ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت اﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ﻟﻸوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻠﮭﺮم ) 2 ( اﻟﺬي ﻗﺎﻋﺪﻧﮫ ﻣ ﺴﺘﻄﯿﻞ
ﯾﻤﻜﻦ ذﻟﻚ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ
* ﻗﺎﻋﺪة اﻟﮭﺮم ) 1 ( ﻣﻀﻠﻊ ﻣﻨﺘﻈﻢ ) ﻣﺮﻊﺑ ( و إرﺗﻔﺎﻋﮫ ﯾﺸﻤﻞ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻧﻘﻮل أﻧﮫ ھﺮم ﻣﻨﺘﻈﻢ
* أوﺟﮭﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻣﺜﻠﺜﺎت ﻣﺘﻘﺎﯾﺴﺔ و ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ
4 ( إن اﻟﮭﺮﻣﯿﻦ ) b ( و ) c ( ﻣﻨﺘﻈﻤﯿﻦ
) b ( ﻗﺎﻋﺘﮫ ﻣﺮﺑﻊ و إرﺗﻔﺎﻋﮫ ﯾﺸﻤﻞ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻘﺎﻋﺪة
) c ( ﻗﺎﻋﺘﮫ ﻣﺜﺚﻠ ﻣﺘﻘﺎﯾﺲ اﻷﺿﻼع وإرﺗﻔﺎﻋﮫ ﯾﺸﻤﻞ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻘﺎﻋﺪة
أﻣﺎ اﻟﮭﺮﻣﯿﻦ ) a ( و ) d ( ﻓﮭﻤﺎ ﻟﯿﺲ ﻣﻨﺘﻈﻤﯿﻦ نﻷ ) ارﺗﻔﺎﻋﯿﮭﻤﺎ ﻻ ﯾﺸﻤﻼن ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻘﺎﻋﺪة
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
14
ﻣﻨﺎﻗﺸﺔ ﺗﻤﺮﯾﻦ ) 1 ( ص 201
اﻟﻤﺠﺴﻤﺎت اﻟﺒﺴﯿﻄﺔ ﻲھ :
) 1 ( ھﺮم ﻗﺎﻋﺘﮫ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻘﺎﯾﺲ اﻷﺿﻼع
) 3 ( ﻣ ،ﻮﺷﻮر ﻗﺎﻢﺋ ) 5 ( ھ ،ﺮم ﻗﺎﻋﺘﮫ ﻣﺮﻊﺑ ) 6 ( ھﺮم ﻗﺎﻋﺘﮫ ﺜﻣ ﺚﻠ
اﻟﻤﺠﺴﻤﺎت اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ﻲھ :
) 2 ( أ ،ﺳﻄﻮاﻧﺔ ﻏﻄﺎﺋﮭﺎ ﻣﺨﺮوط دوران ) 4 ( ﻣﺘﻮازي ﻣﺴﺘﻄﯿﻼت ﻏﻄﺎﺋﮫ ھﺮم
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 187
1 ( اﻟﻤﺠﺴﻤﺎت اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ﯾﻄﻠﺐ وﺻﻒ ﻛﻞ ﻣﻨﮭﺎ ﻣﻊ ذﻛﺮ إﺳﻢ ﻛﻞ ﻣﺠﺴﻢ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺴﻤﺎت اﻟﺘﻲ ﯾﺘﺮﻛﺐ ﻣﻨﺎﮭ
2 ( ﻣﻄﺎﻟﺒﺔ اﻟﺘﻼﻣﯿﺬ ذﻛﺮ أﺷﯿﺎء أﺧﺮى ﻟﮭﺎ ﺷﻜﻞ ﻣﺨﺮوط
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 188
1 ( ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﺘﺸﺎﺑﮫ : ھﻲ ﻗﺎﻋﺪة ﻛﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ ﻋﺒﺎرة ﻋﻦ ﻗﺮص
ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻹﺧﺘفﻼ
أﺳﻄﻮاﻧﺔ دوران ﻣﺨﺮوط دوران
ـ ﻗﺎﻋﺘﯿﻦ ﻛﻞ واﺣﺪةھﻲ ﻗﺮص ـ ﻗﺎﻋﺪة واﺣﺪةھﻲ ﻗﺮص
ـ أوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻋﻤﻮدﯾﺔ ﻋﻠﻰ ـ اﻷوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﺗﺸﺘﺮك
اﻟﻘﺎﻋ ﺪﺗﯿﻦ ﻓﻲ رأس واﺪﺣ
2 ( رأس اﻟﻤﺨﺮوط ، اﻟﻮﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ، اﻟﻘﺎﻋﺪة
ـ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﮭﻨﺪﺳﻲ ﻟﻠﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻠﻤﺠﺴﻢ ھﻮ ﺳﻄﺢ ﻣﻨﻦﺤ
ـ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﮭﻨﺪﺳﻲ ﻟﻘﺎﻋﺪة ھﺬا اﻟﻤﺠﺴﻢ ھﻮ ﻗﺮص
ﻧﺸطﺎ ) 3 ( ص 188
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
15
1 ( اﻟﺸﻜﻞ اﻟﮭﻨﺪﺳﻲ اﻟﺬي ﺗﺮﺳﻤﮫ اﻟﻨﻘﻄﺔ ھﻮ داﺋﺮة
[ OS 2 ( ا رﺗﻔﺎع اﻟﻤﺨﺮوط ) 5 ( ھﻮ اﻟﻘﻄﺔﻌ ]
( d اﻟﻲﺘ ﺣﺎﻣﻠﮭﺎ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ )
SM=SM’ ﻹﺛﺒﺎت نأ
ﻣﺘﻘﺎﯾﺴنﺎ SOM , SOM’ ﻧﺜﺒﺖ أن اﻟﻤﺜﻠﺜﻦﯿ
ـ ﻛﻞ ﻣﻮﻟﺪات اﻟﻤﺨﺮوط ﻣﻘﺎﯾﺔﺴ
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 189
ﻟﻢ ﺗﺴﺘﻌﻞﻤ ) ﻓﻲ ﻞﻛ اﻷﻣﺎﻛﻦ إﻟﺘﻲ ﯾﺠﺐ إﺳﺘﻌﻤﺎﻟﮭﺎ ( ﺗﻘﻨﯿﺔ اﻟﻤﻨﻈﻮر اﻟﻤﺘﺴﺎوي اﻟﻘﯿسﺎ . أﻧﻈﺮ اﻟﺸﻜﻞ ) 1 (
اﻟﺤﺮف ] SD [ ﯾﻜﻮن ﻣﻨﻘﻄﺎ ﻷﻧﮫ ﺧﻠﻒ اﻟﻮﺟﮭﯿﻦ SAB و SAC
ـ ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران اﻟﺸﻜﻞ ) 2 ( ﯾﺤﺘﻤﻞ إﺟﺎﺑﺘﯿﻦ وذﻟﻚ ﺣﺴﺐ ﻣﻮﻗﻊ اﻟﺮؤﺔﯾ
ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺮؤﯾﺔ ﻣﻦ اﻷﺳﻔﻞ ﻓﺈن اﻟﺮﺳﻢ ﺻﺤﺢﯿ
ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺮؤﯾﺔ ﻣﻦ اﻟﺠﺎﺐﻧ ﻓﺈن اﻟﺮﺳﻢ ﻟﯿﺲ ﺻﺤﯿﺤﺎ
ﺟﺰء ﻣﻦ اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻻ ﯾﺮى ﻷﻧﮫ ﯾﻘﻊ ﺧﻠﻒ اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 189
1 ( ﻻ ﺗﺮى ﻛﻞ أﺟﺰاء ھﺬﯾﻦ اﻟﻤﺠﺴﻤﻦﯿ
2 ( رﺳﻢ ھﺮم ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺑﺤﯿﺚ ﯾﻜﻮن ﻛﻞ ﺟﺰء ﻻ ﯾﺮى ﻣﻨﻂﻘ
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ﻣﻦ إﺧﺘﺒﺮ ﻣﻜﺘﺴﺒﺎﻚﺗ
) 1 ( اﻟﺘﺼﻤﯿﻤﺎن اﻟﺼﺤﯿﺤﺎن ھﻤﺎ a و c
اﻷﺧﻄﺎء اﻟﻮاردة ﻓﻲ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ اﻟﺨﺎﺊﻃ b ھﻮ أن اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﺠﮭﺔ و ﺣﺘﻰ ﯾﻜﻮن ﺻﺤﯿﺢ ﻧﺮﺳﻢ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﺟﮭﺔ
أﺧﺮى ﻟﻌﺮض اﻟﻤﺴﺘﻄﻞﯿ
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
16
) 2 ( اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ اﻟﺼﺤﯿﺢ ﻮھ : g
اﻷﺧﻄﺎء اﻟﻮاردة ﻓﻲ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ f ھﻮ أن اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻣﺮﺳﻮﻣﺔ ﻓﻲ اﻷﻋﻠﻰ وﺣﺘﻰ ﯾﻜﻮن اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ ﺻﺤﯿﺢ ﺗﺮﺳﻢ اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻓﻲ اﻟﺎﺠ ﻧﺐ و
ﻟﯿﺲ أﺳﻞﻔ
ـ اﻟﺨﻄﺄ اﻟﻮارد ﻓﻲ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ h اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ ﻏﯿﺮ ﻣﺮﺳﻮﻣﯿﻦ ﻓﻲ ﺟﺎﻧﺒﻲ اﻟﻤﺴﺘﻄﻞﯿ
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 192
ﻣﻼﺣﻈﺔ : ﺗﻜﻮن اﻷﻧﺸﻄﺔ ﻣﺤﻀﺮة ﻓﻲ اﻟﺒﯿﺖ
1 ( أﺣﺴﻦ ﻃﺮﯾﻘﺔ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺼﻤﯿﻢ ﻣﺠﺴﻢ ھﻮ اﻹﻧﻄﻼق ﻣﻦ ﻣﺠﺴﻢ ﺣﻘﯿﻘﻲ و ﯾﺴﺘﺤﺴﻦ إﺳﺘﻌﻤﺎل اﻷﻟﻮان ﻟﺘﻌﯿﯿﻦ أﺿعﻼ
اﻷﺷﻜﺎل اﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﻋﻦ ﻧﻔﺲ اﻟﺤﺮف ) ﻧﻔﺲ اﻟﻠّﻮن ﻟﻨﻔﺲ اﻟﺤﺮف (
ھﺬا ﻗﺒﻞ ﻧﺸﺮ أوﺟﮫ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻣﺠﺴﻤﻲ اﻟﺴﺆاﻟﻦﯿ 1 و 2 ﻣﻦ اﻟﻨﺸطﺎ
3 ( اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ اﻟﻮﺣﯿﺪ اﻟﺬي ﯾﻤﺜﻞ ﺗﺼﻤﯿﻤﺎ ﻟﻤﺨﺮوط دوراﻧﻲ ھﻮ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ ) 3 (
ـ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺘﺼﻤﯿﻢ ) 1 ( إذا ﺪﻋّل ) ﺑﻔﺼﻞ اﻟﻘﺮص ﻋﻦ ﻣﻜﺎﻧﮫ ﻣﺜﻼ ( ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺗﺼﻤﯿﻢ ﻟﻤﺨﺮوط دوراﻲﻧ
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 193
ﻲﻓ اﻟﺘﺼﺎﻣﯿﻢ اﻟﻤﻘﺪﻣﺔ ﻓﻲ ﻛﺘﺎب اﺗﻠﺘﻠﻤﯿﺬ ﺧﻠﻞ ﺗﻘﻨﻲ ﻟﺬا ﯾﻌﺎد ﺗﻘﺪﯾﻤﮭﺎ ﻓﻲ اﻟﺪﻟﻞﯿ
1 ـ اﻟﺘﺼﻤﯿﻤﺎن ) 1 ( ) و 2 ( ھﻤﺎ ﺗﺼﻤﯿﻤﺎن ﻟﮭﺮﻣﯿﻦ ﻣﻨﺘﻈﻤﯿﻦ ﯾﻄﻠﺐ ﻣﻦ اﻟﺘﻼﻣﯿﺬ ﺗﻌﻠﯿﻞ ذﻟﻚ
ـ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ ) 3 ( ﻟﯿﺲ ﺗﺼﻤﯿﻤﺎ ﻟﮭﺮم ﯾﻄﻠﺐ ﺗﻌﻠﯿﻞ ذﻟﻚ .
ﯾﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺼﻤﯿﻢ ﻟﮭﺮم ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺑﺘﻌﺪﯾﻞ ﻃﻔﯿﻒ ﻟﻤﻮاﻗﻊ ﺑﻌﺾ اﻷوﺟﮫ ﻓﯿﮫ
ـ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ ) 4 ( ﻟﯿﺲ ﺗﺼﻤﯿﻤﺎ ﻟﮭﺮم ﻣﻨﺘﻈﻢ ﯾﻄﻠﺐ ﺗﻌﻠﯿﻞ ذﻟﻚ
2 ـ ﯾﻤﻜﻦ اﻹﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠﻰ أﺣﺪ ﺗﺼﺎﻣﯿﻢ اﻟﺴﺆال اﻟﺴﺎﻖﺑ
أو ﺗﺮك اﻟﺤﺮﯾﺔ ﻟﻠﺘﻠﻤﯿﺬ ﻓﻲ إﻧﺠﺎز ﺗﺼﻤﯿﻢ آﺧﺮ ﻋﻠﻰ أن ﯾﻜﻮن ﺑﺎﻷﻃﻮال اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ﺛﻢ ﯾﺼﻨﻊ ھﺬا اﻟﮭﺮم
ﻧﺸطﺎ ) 3 ( ص 193
ﯾﺘﺒﯿّﻦ اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ ﻓﻲ اﻟﻨﺸطﺎ ) 1 ( ﻣﻦ اﻟﻔﻘﺮة ﻟﻠﺘﻮﻇﯿﻒ نأ اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻤﺨﺮوط دوراﻧﻲ ھﻮ ﻗﻄﺎع ﻗﺮص
1 ـ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﻇﮭﻮر ﺻﻌﻮﺑﺔ ﻣﺎ ﻟﺪى ﺑﻌﺾ اﻟﺘﻼﻣﯿﺬ ﯾﻤﻜﻦ رﺳﻢ اﻟﻤﺨﺮوط ﻋﻠﻰ اﻟﺴﺒﻮرة و إﺑﺮاز ﻋﻠﻰ ھﺬا اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﻤﺜﺚﻠ
SOM ﺑﺎﻠﻟ ّﻮن اﻷﺣﻤﺮ و ﻛﺬﻟﻚ رﻣﺰ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﻋﻨﺪ اﻟﺮأس O ﺑﮭﺬا ﻗﺪ ﯾﮭﺘﺪي اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ إﻟﻰ اﻹﺟﺎﺑﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺴﺆلا
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
17
2 ـ ﻓﻲ اﻟﻔﺮع اﻷول ﻣﻦ اﻟﺴﺆال ﯾﻄﻠﺐ ﺷﺮح ﺳﺒﺐ ﺗﺴﺎوي ﻃﻮل ﻗﻮس C B
)
و ﻣﺤﯿﻂ ﻗﺮص اﻟﻘﺎﻋﺪة ﺛﻢ ﯾﻄﻠﺐ إﺳﺘﻨﺘﺎج ﻃﻮل
ھﺬا اﻟﻘﻮس
* ﯾﻤﻜﻦ اﻹﻧﻄﻼق ﻣﻦ ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران وإﺗﺒﺎع ﻣﺮاﺣﻞ ﻧﺸﺮه ﺑﺎﻟﻘﺺ ﻣﺜﻠﻤﺎ ھﻮ وارد ﻓﻲ اﻟﺴﺆلا ) 2 ( ﻣﻦ اﻟﻨﺸطﺎ ) 1 (
ـ ﻟﻠﻮﺻﻮل ﻋﻤﻠﯿﺎ إﻟﻰ ﻓﮭﻢ ﺳﺒﺐ ﺗﺴﺎوي ﻃﻮل اﻟﻘﻮس C B
)
ﻣﻊ ﻣﺤﯿﻂ ﻗﺮص اﻟﻘﺎﻋﺪة ) ﻋﻨﺪ ﻣﺤﺎوﻟﺔ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺼﻤﯿﻢ
اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪوراﻧﻲ ﺳﻮف ﯾﻼﺣﻆ أن ﻗﻮس ﻗﻄﺎع اﻟﻘﺮص اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻣﺘﻄﺎﺑﻖ ﻣﻊ ﻣﺤﯿﻂ ﻗﺮص اﻟﻘﺎﻋﺪة (
ـ ﺑﻤﺎ أن ﻃﻮل اﻟﻘﻮس C B
)
ﯾﺴﺎوي ﻣﺤﻂﯿ ﻗﺮص اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻓﺈن ﻃﻮل اﻟﻘﻮس C B
)
ﻮھ cm p 12 = cm p ´ ´6 2
ـ ﻓﻲ اﻟﻔﺮع اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻣﻦ اﻟﺴﺆلا ) ﺑﻮﺿﻊ اﻟﺤﺮف S ﺑﺪﻻ ﻦﻣ A ( ﯾﺘﯿﺒ ّﻦ ﻟﻠﺘﻠﻤﯿﺬ أن ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻃﻮل ﻗﻮس اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻠﻤﺨﺮوط
ﻻﯾﻜﻔﻲ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﮭﺬا اﻟﻤﺨﺮوط
ـ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﺮص ) ﻃﻮل اﻟﺪاﺋﺮة ( اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰﺎھ S وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ 10cm ﻮھ cm p 20 = cm p × 10 × 2
إذا ﻛﺎن x ھﻮ ﻗﯿﺲ زاﯾو ﺔ اﻟﻘﻄﺎع ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺟﺪول اﻟﺘﻨﺎﺳﺒﯿﺔ
216° =
p
p
20
360 12 ´ ´
= x
ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻗﯿﺲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ ﻟﻠﻘﻄﺎع اﻟﺘﻲ ﺗﺤﺼﺮ اﻟﻘﻮس C B
)
ﻮھ 216°
ـ ﺑﺎﻻﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت اﻟﺘﻲ اﺳﺘﻨﺘﺠﺖ ﻣﻦ اﻟﺴﺆال اﻟﺴﺎﺑﻖ ﯾﻤﻜﻦ إﻧﺠﺎز ﺗﺼﻤﯿﻢ ﻟﻠﻤﺨﺮوط اﻟﻤﻄﻠﻮب
ﯾﺘﻜﻮن ھﺬا اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ ﻦﻣ
ـ ﻗﺎﻋﺪة ھﻲ ﻗﺮص ﻗﻄهﺮ 6cm
ـ ﺳﻄﺢ ﺟﺎﻧﺒﻲ ھﻮ ﻗﻄﺎع ﻗﺮص ﻗﯿﺲ زاوﯾﺘﮫ اﻟﻤﺮﻛﺰﺔﯾ 216° وﻧﺼﻒ ﻗﻄهﺮ 10cm ﻟﺼﻨﻊ اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﻤﻄﻠﻮب ﺑﺴﮭﻮﺔﻟ
ﯾﺴﺘﺤﺴﻦ ﺗﺮك أﺷﺮﻃﺔ ﻟﺼﻖ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ
4 ـ ﯾﺘﻮﺻﻞ اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ ﻋﺒﺮ ھﺬا اﻟﺴﺆال إﻟﻰ ﻋﻼﻗﺔ ﺑﺴﯿﻄﺔ ﺗﺴﻤﺢ ﻟﮫ ﺑﺤﺴﺎب ﻗﯿﺲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺮﻛ ﺰﯾﺔ ﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻤﺨﺮطو
دوراﻲﻧ
ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت اﻟﻮاردة ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ و اﻋﺘﻤﺎدا ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت اﻟﻮاردة ﻓﻲ اﻹﻃﺎر ) ﻛﺘﺎب اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ ( ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺟﺪلو
اﻟﺘﻨﺎﺳﺒﯿﺔ اﻵﻲﺗ
ﻗﯿﺲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻲﺘ
ﺗﺤﺼﺮ اﻟﻘﻮس ) ° (
360° x
ﻃﻮل اﻟﻘﻮس ) cm ( p × L × 2 p × r × 2
ﯾﻨﺘﺞ ﻣﻦ ﺟﺪول اﻟﺘﻨﺎﺳﺒﯿﺔ
x 360
12
p
20
p
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
18
360 ×
L
r
= 360 ×
L
r
´
´
2
2
=
p
p
´ ´
´ ´ ´
L
r
2
360 2
= x
اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻌﻄﯿﻨﺎ ﻗﯿﺲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ ﻟﻘﻄﺎع اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻤﺨﺮوط دوراﻧﻲ ﻲھ 360 ×
L
r
= x
ﺣﯿﺚ r ھﻮ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺮص اﻟﻘﺎﻋﺪة
L ھﻮ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺬي ﯾﻤﺜﻞ اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻠﻤﺨﺮوط
ﺑﺈﺳﺘﻌﻤﺎل ھﺬه اﻟﻌﻼﻗﺔ ﻟﺤﺴﺎ ب ﻗﯿﺲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﺔﯾ x ) اﻟﺴﺆلا ) 2 (( ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻨﺎﺗﺞ ﺑﺎﻟﻔﻌﻞ ﻟﺪﯾﻨﺎ
r = 6cm و L = 10cm إذن
210° = 6 × 36 =
10
6
× 360 = 360 ×
L
r
= x
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 194
1 ـ ﻗﺒﻞ اﻟﺘﻄﺮق ﻟﻠﻔﺮع اﻷول ﻻ ﺑﺪّ ﻣﻦ اﻟﺘﺄﻛﺪ أن اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ ﻋﻠﻰ ﻋﻠﻢ ﺑﺄن إرﺗﻔﺎع ھﺮم ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻗﺎﻋﺪة ھﺬا اﻟﮭﺮم و ﯾﺸﻤﻞ رأﮫﺳ
ﺣﺴﺎب اﻹرﺗﻔﺎع اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻘﺎﻋةﺪ ] AB [ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺚﻠ ShB
ﯾﺮﺳﻢ اﻟﮭﺮم ﻋﻠﻰ اﻟﺴﺒﻮرة وﯾﺒﺮز اﻟﻤﺜﺚﻠ SBh ﻣﺜﻼ
و ﯾﺴﺘﻌﻤﻞ رﻣﺰ اﻟﺰاوﯾﺔاﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ﺑﺎﻠﻟ ّﻮن اﻷﺣﻤﺮ ﺛﻢ ﻧﺤﺴﺐ اﻹرﺗﻔﺎع
ﺣﺴﺎب اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻠﮭﺮم اﻟﻤﻌﺘﺒﺮ
ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ اﻟﺘﻔﻄﻦ إﻟﻰ اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺔ اﻟﻮاردة ﻓﻲ اﻹﻃﺎر ) ﻛﺘﺎب اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ (
2 ـ ﯾﻄﻠﺐ ﻣﻦ اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ أن ﯾﻮﺿﺢ ﻣﺎھﻮ اﻟﻤﺮاد ﺑﺎﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻤﺠﺴﻢ ﺛﻢ ﻧﺤﺴﺐ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻄﻠﻮﺑ ﺔ
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 194
1 ـ ﻣﺴﺎﺣﺔ ھﺬا اﻟﻘﺮص
2
10 × p = B وﻣﮫﻨ p 100 = B
2 ـ
360
10 360
10
5 . 4
2
´ ´ ´ p
= y وﻣﮫﻨ p 10 × 4.5 = y
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
19
وﻣﮫﻨ p 45 = y
3 ـ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪوران اﻟﻤﻌﯿ ّﻦ ﻲھ :
p 45 = y
ﻧﺸطﺎ ) 3 ( ص 195
1 ـ ﺑﻌﺪ ﺣﺴﺎب ﻃﻮل ﺣﺮف اﻟﮭﺮم ﺑﺈﺳﺘﻌﻤﺎل ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮسر
2 ـ و إﻧﺠﺎز ﺗﺼﻤﯿﻢ ﻟﻠﮭﺮم ﺑﺄﻛﺒﺮ دﻗﺔ ﻣﻤﻜﻨﺔ
3 ـ و ﺑﻌﺪ ﺻﻨﻊ اﻟﻤﻜﻌﺐ ﺑﺎﻟﻄﺮﯾﻘﺔ اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ﯾﺴﺘﻨﺘﺞ أن ﻃﻮل ﺣﺮف اﻟﻤﻜﻌﺐ اﻟﻤﺼﻨﻮع ﻮھ 8cm
4 ـ ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﻤﻜﻌﺐ ﻧﺎﺗﺞ ﻋﻦ ﺗﺮﻛﯿﺐ 6 أھﺮاﻣﺎت
ﻟﮭﺎ ﻧﻔﺲ اﻷﺑﻌﺎد ﺳﻮف ﯾﺴﺘﻨﺘﺞ اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ أن ﺣﺠﻢ اﻟﮭﺮم ﻮھ :
ﺳﺪس ﺣﺠﻢ اﻟﻤﻜﻌﺐ اﻟﺬي أﺑﻌﺎهد 8cm ,8cm , 8cm
يأ
3
cm
3
8 ×
6
1
وﺑﻌﺪ ﻛﺘﺎﺑﺔ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺴﻤﺢ ﺑﺤﺴﺎب ھﺬا اﻟﺤﺠﻢ ﺑﺎﻟﻜﯿﻔﯿﺔ اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ يأ ) 8 ×
2
1
( × )
2
8 ( ×
3
1
ﺣﯿﺚ
2
cm
2
8 ھﻲ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﻜﺐﻌ
و 8 ×
2
1
ھﻮ إرﺗﻔﺎع اﻟﮭﺮم و ھﻮ أﯾﻀﺎ ً ﻧﺼﻒ إرﺗﻔﺎع اﻟﻤﻜﺐﻌ
ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن ﺣﺠﻢ ﻛﻞ ھﺮم ﻣﻦ اﻷھﺮاﻣﺎت اﻟﺴﺘﺔ ﻮھ
) ﺛﻠﺚ ﺟﺪاء ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﮭﺮم و إرﺗﻔﺎﻋﮫ (
5 ـ إﻧﻄﻼﻗﺎ ﻣﻦ ﻛﻞ ﻣﺎ ﺳﺒﻖ ﻣﻦ إﻧﺠﺎز و ﺻﻨﻊ و ﺣﺴبﺎ
ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ اﻟﻘﺎﻋﺪة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﺤﺴﺎب ﺣﺠﻢ ھﺮم وھﻲ :
h × B ×
3
1
= V ﺣﯿﺚ ﯾﺮﺰﻣ
B إﻟﻰ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﮭﺮم و h إﻟﻰ إرﺗﻔﺎع اﻟﮭﺮم
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
20
ﻧﺸطﺎ ) 4 ( ص 196
ﻋﻠﻤﺎ أن ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة ﻮھ 2cm ﻓﺈن ﻣﺤﯿﻄﮭﺎ ﻮھ
p × 2 × 2 أي ﺣﻮاﻟﻲ 12.56cm
ﻧﻼﺣﻆ أﻧﮫ ﻛﻠﻤﺎ زاد ﻋﺪد أﺿﻼع ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻛﻠﻤﺎ ﻛﺒﺮ ﻣﺤﯿﻄﮫ و اﻗﺘﺮﺑﺖ ﻣﻦ ﻃﻮل اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺤﯿﻄﺔ ﺑﮫ يأ 12.56cm
ﻛﻠﻤﺎ ﻛﺒﺮت ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ و إﻗﺘﺮﺑﺖ ﻣﻦ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺮص اﻟﻤﺤﺪد ﺑﮭﺬه اﻟﺪاﺋﺮة يأ
2
cm 12.566
ـ ﻻﺣﻈﻨﺎ أن اﺿﻼع اﻟﻤﻀﻠﻌﺎت اﻟﻤﻨﺘﻈﺔﻤ ) 1 ( ) و 2 ( ) و 3 ( و ) 4 ( ﻧﻘﺘﺮب ﺷﯿﺊ ﻓﺸﯿﺊ ﻣﻦ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﺮص
وﻣﻊ إﺗﻤﺎم رﺳﻢ اﻷھﺮاﻣﺎت اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ﻧﻼﺣﻆ أن اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﮭﺬه اﻷھﺮاﻣﺎت ﯾﻘﺘﺮب ﺑﺪوره ﻣﻦ ﺳﻄﺢ ﻣﻨﺤﻦ أي ﻣﻦ اﻟﺴﻄﺢ
اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪوران
ﻣﻤﺎ ﺳﺒﻖ ﯾﻤﻜﻦ أن ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن ﺣﺠﻢ ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران ﻮھ
H × B ×
3
1
= V
ﺣﯿﺚ ﯾﺮﺰﻣ B إﻟﻰ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺮص ) ﻗﺎﻋﺪة ( اﻟﻤﺨﺮوط و h إﻟﻰ إرﺗﻔﺎع ھﺬا اﻟﻤﺨﺮوط
ﺗﺠﺮﺑﺔ : ﯾﺴﺘﻨﺘﺞ ﻣﻦ ﺧﻼﻟﮭﺎ ﻗﺎﻋﺪة ﻟﺤﺴﺎب ﺣﺠﻢ ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران
اﻟﻨﺸﺎط ﯾﺘﻄﻠﺐ ورق ﻣﻘﻮى و ﻣﺴﺤﻮق ﻣﻠﺢ أو ﺳﻜﺮ أورﻣﻞ
1 ـ أﺻﻨﻊ أﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﺪوران و ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران ﻗﺎﻋﺪﺗﮭﻤﺎ ﻗﺮﺻﺎن ﻧﺼﻔﻲ ﻗﻄﺮﯾﮭﻤﺎ 3cm و ارﺗﻔﺎﻋﮭﻤﺎ 10cm ) ﯾﻠﻔﺖ إ ﻧﺘﺒﺎه
اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ إﻟﻰ ﻗﺎﺑﻠﯿﺔ ﺗﻄﺎﺑﻖ ﻗﺎﻋﺪﺗﻲ اﻟﻤﺠﺴﻤﯿﻦ و ﺗﺴﺎوي إرﺗﻔﺎﻋﯿﮭﺎﻤ
2 ـ إﻣﻸ ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران ﺑﺎﻟﻤﺴﺤﻮق ﺣﺘﻰ اﻟﺤﺎﻓﺔ ﻟﻜﻦ دون ﺗﻜﺪﯾﺲ ﺛﻢ أﺳﻜﺐ ﻣﺤﺘﻮاه ﻓﻲ اﻷﺳﻄﻮاﺔﻧ
ﻛﺮر اﻟﻌﻤﻠﯿﺔ ﻋﺪد ﻣﻦ اﻟﻤﺮات اﻟﻼزﻣﺔ ﺣﺘﻰ ﺗﻤﺘﻠﺊ اﻷﺳﻄﻮاﺔﻧ
ـ ﻣﺎھﻮ ﻋﺪد اﻟﻤﺮات اﻟﺘﻲ ﻣﻸت ﻓﯿﮭﺎ اﻟﻤﺨﺮوط ﻟﻜﻲ ﺗﻤﺘﻸ ا ﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ ؟
ـ أﺣﺴﺐ ﺣﺠﻢ اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ ﺑﺄﺧﺬ ﻣﺤﺘﻮى اﻟﻤﺨﺮوط ﻛﻮﺣﺪة ﻟﻠﻘﯿﺎس ﺛﻢ ـﺑ
3
cm ؟
ـ إﺳﺘﻨﺘﺞ ﺣﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط ﺑﺪﻻﻟﺔ ﺣﺠﻢ اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ ـﺑ
3
cm ؟
أﻧﻘﻞ اﻟﻨﺺ ﺛﻢ أﺗﻤﻤﮫ
إذا ﻛﺎن ﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﺪوران و اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪوران ………..
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
21
ﻗﺎﺑﻠﺘﺎن ﻟﻠﻤﻄﺎﺑﻘﺔ و ﺎﻛ ن ﻟﮭﻤﺎ ﻧﻔﺲ ………. ﻓﺈن :
ﺣﺠﻢ ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران ﯾﺴﺎوي …….. ﺣﺠﻢ أﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﺪوران .
ﺑﻌﺪ ھﺬا ﯾﺴﺘﻨﺘﺞ اﻟﻘﺎﻋﺪة :
إذا ﻛﺎﺖﻧ B ھﻲ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ وﻛنﺎ h اﻹرﺗﻔﺎع اﻟﻤﺸﺘﺮك ﻟﮭﺬﯾﻦ اﻟﻤﺠﺴﻤﯿﻦ ﻓﺈن : h × B × ……. = ….
merciiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
أريد حل تمرين 13صفحة 187
اسفة لم استطع رسمه هنا……….
التصنيفات
حلول تمارين حول الانسحاب
ﻣﻨﺎﻗﺔﺸ ) 1 ( و ) 2 ( ) و 3 ( ) و 4 ( ﻣﻦ إﺧﺘﺒﺮ ﻣﻜﺘﺴﺒﺎﻚﺗ
) 1 ( إﻧﺸﺎء ﻣﺘﻮايز اﻷﺿﻼع ABCD
إﺧﺮاج اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎت اﻟﻤﺘﻮازﯾﺔ و اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﺘﻘﺎﯾﺴﺔ ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ
) 2 ( ﯾﻮﺪﺟ 7 ﻣﺘﻮازﯾﺎت أﺿعﻼ
) 3 ( ﯾﻮﺟﺪ أرﺑﻊ ﻣﺘﻮازﯾﺎت أﺿﻼع رؤوﺳﮭﺎ اﻟﻨﻘﻂ
D , C , B , A
) 4 ( ﻧﻘﻞ اﻟﺸﻜﻞ و إﻧﺸﺎء ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع ABFG
و AKBG
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 172
) اﻟﻌﻤﻞ ﯾﻜﻮن ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﻣﺮﺻﻮﻓﺔ و ﺗﺤﻀﺮ ﻓﻲ اﻟﺒﯿﺖ (
ـ اﻟﻤﻄﻠﻮب ﻣﻦ اﻟﺘﻼﻣﯿﺬ أن ﯾﺸﺮﺣاﻮ ﻟﺰﻣﻼﺋﮭﻢ ﻛﯿﻒ أﻧﺠﺰوا اﻟﻌﻤﻞ
* إن إﺳﺘﻌﻤﺎل ﻣﺮﺑﻌﺎت اﻟﻤﺮﺻﻮﻓﺔ ﯾﺴﺎﻋﺪ ﻋﻠﻰ إﻧﺠﺎز اﻟﻌﻤﻞ وﯾﻜﻮن ذﻟﻚ ﺑﺈﻋﺘﺒﺎر ﻗﻄﻊ اﻟﺸﻜﻞ ﻛﺄﺿﻼع أو أﻗﻄﺎر ﻟﻤﺘﻮازﯾﺎت
أﺿﻼع ﯾﺠﺪدھﺎ اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ و إﻋﺘﺒﺎر ﻃﻮل اﻟﻤﺮﺑﻊ اﻟﺼﻐﯿﺮ اﻟﺬي ﺗﺘﺸﻜﻞ ﻣﻨﮫ اﻟﻤﺮﺻﻮﻓﺔ ﻛﻮﺣﺪة ﻟﻸﻃﻮلا .
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 172
اﻟﻌﻤﻞ ﯾﻜﻮن ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﺮﻣ ﺻﻮﺔﻓ
ـ رﺳﻢ اﻟﺸﻜﻞ ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﻣﺮﺻﻮﻓﺔ ﺣﯿﺚ ﺗﻮﺿﻊ اﻟﻨﻘﻂ C , B , A وﻛﻞ اﻟﻨﻘﻂ اﻷﺧﺮى ﻋﻠﻰ رؤوس ﻣﺮﺑﻌﺎت اﻟﻤﺮﺻﻮﺔﻓ
1 ( اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ABB’A’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ وﻣﻨﮫ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ AA’B’B ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ـ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ BCC’B’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ وﻣﻨﮫ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ AA’C’C ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ـ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ CDD’C’ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼ ع وﻣﻨﮫ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ
AA’D’D ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ـ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ DEE’D’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ وﻣﻨﮫ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
3
AA’E’E ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
2 ( اﻟﻨﻘﺔﻄ B ﻟﯿﺴﺖ ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﺔﻄ B’ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ A’
ـ اﻟﻨﻘﺔﻄ C ﻟﯿﺴﺖ ﺻﻮةر B ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﺬﻛﻮر ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ CBA’A ﻟﯿﺲ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
) اﻟﻘﻄﺔﻌ ] CB [ ﻻﺗﻮايز اﻟﻘﻄﺔﻌ ] AA’ ( [
Jـ ﻟﯿﺴﺖ ﺻﻮةر I ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﺬﻛﻮر ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ JIA’A ﻟﯿﺲ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ ) اﻟﻘﻄﺔﻌ ] CB [ ﻻ ﺗﻘﺎﯾﺲ اﻟﻘﻄﺔﻌ ] AA’ [
3 ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ A’ ، B’ ھﻲ ﺻﻮةر B و C’ ھﻲ ﺻﻮةر C و D’ ﻲھ ﺻﻮةر D
4 ( B’ ھﻲ ﺻﻮةر B ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ A’ ﻓﺈن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ABB’A’ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع وﻋﻠﯿﮫ
) AB ) // ( A’B’ (
BC = B’C’ ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ BCC’B’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
5 ( ) AE // ( (A’E’) و ) BE ( ) // B’E’ (
BD = B’D’ و AC = A’C’
C B A ˆ = ‘ ‘
ˆ
‘ C B A و C D E ˆ = ‘ ‘
ˆ
‘ C D E
ﺣﻞ ﻧﺸطﺎ ) 5 ( ﻦﻣ إﺧﺘﺒﺮ ﻣﻜﺘﺴﺒﺎﻚﺗ
1 ( AB +BC < AC ، AB + AC < BC
BI + CI = BC
2 ( إذا ﻛﺎن AD +DB = AB ﯾﻜﻮن ﻣﻮﻊﻗ D ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻄﺔﻌ ] AB [
ﻧﺸطﺎ ) 3 ( ص 173
ھﺬا اﻟﻨﺸﺎط ﯾﻜﻮن ﻣﺤﻀﺮ ﻓﻲ اﻟﺒﯿﺖ ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﻣﻠﯿﻤﺘﺮﺔﯾ
ـ اﻟﻤﻄﻠﻮب ﻣﻦ اﻟﺘﻼﻣﯿﺬ ﺷﺮح ﻛﯿﻔﯿﺔ ﻋﻤﻠﯿﺔ اﻟﺘﺒﻠﯿﻂ اﻟﺘﻲ ﺗﻤﺖ ﻋﻠﻰ اﻟﻮرﻗﺔ اﻟﻤﻠﯿﻤﺘﺮﺔﯾ
ـ اﻟﺒﻼﺔﻃ 2 ھﻲ ﺻﻮرة اﻟﺒﻼﺔﻃ 1 ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ A إﻟﻰ B
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
4
ـ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ C إﻟﻰ D اﻟﺒﻼﺔﻃ 4 ھﻲ ﺻﻮرة اﻟﺒﻼﺔﻃ 3
ﻧﺸطﺎ ) 4 ( ص 173
1 ( ﻧﻘﻞ اﻟﻘﻄﺔﻌ ] AB [ واﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ C و D ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﺑﯿﻀﺎء
2 ( M ﻧﻘﻄﺔ ﻛﯿﻔﯿﺔ ﻦﻣ ] AB [
ـ إﻧﺸﺎء اﻟﻨﻘﻂ A’ و B’ و M’ ﻮﺻّر A و B و M ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ D إﻟﻰ C
ـ ﺻﻮرة اﻟﻘﻄﺔﻌ ] AB [ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ D إﻟﻰ C ھﻲ اﻟﻘﻄﺔﻌ ] A’B’ [
ﻧﺸطﺎ ) 5 ( ص 173
1 ( ﻧﻘﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) d ( و اﻟﻨﻘﻄﺘﻦﯿ A و B ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﺑﯿﻀﺎء
2 ( M ، N ﻧﻘﻄﺘﺎن ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﺎن ﻦﻣ ) d (
3 ( ﻧﺸﺎء اﻟﻨﻘﻄﺘﻦﯿ M’ و N’ ﺻﻮرﺗﻲ M و N ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ A إﻟﻰ B
ﺛﻢ رﺳﻢ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) M’N’ (
ـ ﻃﺒﯿﻌﺔ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ MNN’M’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﻦﯿ ) d ( و ) M’N’ ( ﻣﺘﻮازﯾنﺎ
ـ ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) d ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ A إﻟﻰ B ھﻮ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) M’N’ (
ﻣﻨﺎﻗﺸﺔ ﺗﻤﺮﯾﻦ 11 ص 182
ـ ﺻﻮةر ) AB ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤﻮّل E إﻟﻰ F ﻮھ ) HF (
ـ ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﺚﻠ HAE ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ O ھﻮ اﻟﻤﺜﺚﻠ GOF
ﻧﺸطﺎ ) 6 ( ص 174
1 ( ﻧﻘﻞ ﻧﺼﻒ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) OX [ واﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ A و B ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﺑﯿﻀﺎء
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
5
ـ أﺧﺬ ﻧﻘﺔﻄ M ﻦﻣ ) OX [
ـ إﻧﺸﺎء O’ و M’ ﺻﻮرﺗﻲ O و M ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ B
ـ ﺻﻮةر ) OX [ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ A إﻟﻰ B ھﻮ ﻧﺼﻒ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) O’M’ [ اﻟﺬي ﯾﻮازﯾﮫ وﻟﮫ ﻣﻌﮫ ﻧﻔﺲ اﻹﺗﺠهﺎ
ﻧﺸطﺎ ) 7 ( ص 174
ﻧﻘﻞ اﻟﺸﻜﻞ ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﺑﯿﻀﺎء
ـ M ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﺪاﺋﺮة ) C (
ـ إﻧﺸﺎء O’ و M’ ﺻﻮرﺗﻲ O و M ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ B
ـ ﻃﺒﯿﻌﺔ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ OMM’O’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ـ اﻟﻄﻮل O’M’ ھﻮ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة ) C’ ( اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰﺎھ O’
ـ ﻣﻮﻗﻊ اﻟﻨﻘﺔﻄ M’ ھﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﺪاﺋﺮة ) C’ (
ـ ﺻﻮرة اﻟﺪاﺋﺮة ) C ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ B ھﻮ اﻟﺪاﺋﺮة ) C’ (
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 177
ﯾﻜﻮن ھﺬا اﻟﻨﺸﺎط ﻣﺤﻀﺮ ﻓﻲ اﻟﺒﯿﺖ ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﻣﺮﺻﻮﻓﺔ ﻣﻊ ﺿﺮورة إﺣﻀﺎر ورﻗﺔ ﺷﻔﺎﻓﺔ ﻣﺮﺳﻮم ﻋﻠﯿﮭﺎ اﻟﺴﯿﺎرة
ـ ﻣ ﻼﺣﺔﻈ : اﻟﺴﯿﺎرة ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺘﻄﺎﺑﻖ ﻣﻊ ﺻﻮرﺗﺎﮭ
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 177
1 ( رﺳﻢ اﻟﺸﻜﻞ ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﺑﯿﻀﺎء أو ﻋﻠﻰ ﻛﺮاس اﻷﻧﺸﺔﻄ
2 ( إﻧﺸﺎء B’ و C’ ﺻﻮرﺗﻲ B و C ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ I
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
6
ـ ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ I ھﻮ اﻟﻤﺜﺚﻠ IB’ C’
ـ ﻃﺒﯿﻌﺔ اﻟﻤﺜﺚﻠ IB’C’ ھﻮ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻘﺎﯾﺲ اﻷﻼﺿ ع و ھﻮ ﯾﻘﺎﯾﺲ اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC إذن ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺎﺣﺘﯿﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﺎن
3 ( ﻣﻮﻊﻗ I’ ﺻﻮةر I ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب ھﻮ ﻣﻨﺘﺼﻒ ] C’B’ [ نﻷ I ﻣﻨﺘﺼﻒ ] CB [ وﺻﻮرة ] CB [ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
ﻮھ ] C’B’ [
ـ إﻧﺸﺎء J’ و K’ ﺻﻮرﺗﻲ J و K ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﻌﻰﻄ
4 ( ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘ ﻘﯿﻢ ) JK ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﻌﻄﻰ ﻮھ ) J’K’ ( ﻷن ﻟﺪﯾﻨﺎ ﺻﻮةر ] AB [ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب ﻮھ ] IB’ [ و J
ﻣﻨﺘﺼﻒ ] AB [
وﻟﺪﯾﻨﺎ أﯾﺎﻀ J’ ﺻﻮةر J ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب ھﺬا ﯾﻌﻨﻲ نأ J’ ﻣﻨﺘﺼﻒ ] IB’ [
وﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ ﻧﺒﺮھﻦ نأ K’ ﻣﻨﺘﺼﻒ ] IC’ [
إذن ﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻨﺘﺼﻔﯿﻦ ﻓﺈن ) J’K’ )//( B’C’ (
5 ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ I :
ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC ھﻲ اﻟﻤﺜﺚﻠ IB’C’ ، ﺻﻮرة ﻛﻞ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﻮاﺳﻄﺔ إﻧﺴﺤﺎب ﻲھ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻢﯿ ﺗﻘﺎﯾﺴﮭﺎ ، إذن اﻟﻤﺜﻠﺜنﺎ
ABC و IB’C’ ھﻤﺎ ﻣﺜﻠﺜنﺎ ﻣﺘﻘﺎﯾﺴنﺎ و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻟﮭﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ
اﻟﻨﻘﺔﻄ I’ ﻲھ ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻀﻠﻊ ] B’C’ [ ﻷﻧﮭﺎ ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﺔﻄ I ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻟا ﻀﻠﻊ ] BC [
اﻟﻨﻘﻄﺘﻦﯿ J’ ، K’ ھﻤﺎ ﻣﻨﺘﺼﺎﻔ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ ] IB’ [ ] و IC’ [ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﻷﻧﮭﻤﺎ ﺻﻮرﺗﺎ اﻟﻨﻘﻄﺘﻦﯿ J و K ﻣﻨﺘﺼﻔﺎ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ ] AB [ و
] AC [ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ
ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) JK ( ﻲھ ) J’K’ ( ﻷن ﺻﻮرة ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﺈﻧﺴﺤﺎب ﻲھ ﻣﺴﺘﻘﻢﯿ وھﺬان اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤنﺎ ﻣﺘﻮازﯾنﺎ
اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) J’K’ ( و ) B’C’ ( ﻣﺘﻮاز ﯾﺎن نﻷ :
) B’C’ ( // ) BC ( نﻷ ) B’C’ ( ھﻮ ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) BC ( ﺑﺈﻧﺴﺤﺎب
و ) JK ( // ) BC ( نﻷ ) JK ( ھﻮ ﻣﺴﺘﻘﻢﯿ اﻟﻤﻨﺘﺼﻔﯿﻦ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC
إذن ) JK ( ) // B’C’ ( وﻋﻠﻤﺎ نأ ) J’K’ ( // ) JK (
ﻓﺈن ) J’K’ ( ﯾﻮازي ) B’C’ (
ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ 12 ص 183
ﺻﻮرﺗﻲ M و A ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل T إﻟﻰ A
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
7
1 ( ﺻﻮةر M ﻲھ P ) نﻷ M ھﻲ ﻣﻨﺘﺼﻒ ] TP [ إذن ) TM ) // ( MP ( و MP = TM (
ـ ﺻﻮةر A ﻲھ R ) ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ TMRA ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ (
2 ( ﺻﻮةر ] AM [ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل T إﻟﻰ A ﻲھ ] SR [ ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ASRM ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع وھﺬا نﻷ A ﻣﻨﺘﺼﻒ
] TS [
إذن ) TA )// ( AS ( و AS = TA
وﺻﻮرة M ﻲھ R ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
إذن ) MR ) // ( AS ( و AS = MR
ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ 14 ص 183
ﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻨﺘﺼﻔﯿﻦ ﻓﺈن ) MN )//( BC ( و BC
2
1
= MN
إذن ﺻﻮةر B ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل M إﻟﻰ N ﻲھ H ﻣﻨﺘﺼﻒ ] BC [ ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ MNHB ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ 15 ص 183
1 ( اﻷﻧﺸﺎء و إﻧﺠﺎز اﻟﺸﻜﻞ
2 ( ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
I ھﻲ ﺻﻮةر A ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
B’ ھﻲ ﺻﻮةر B ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
C’ ھﻲ ﺻﻮةر C ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
إذن ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب ھﻮ اﻟﻤﺜﺚﻠ IB’C’
3 ( اﻟﺒﺮھﺎن ﻋﻠﻰ نأ D ﻣﻨﺘﺼﻒ ] B’C’ [
ﻟﺪﯾﻨﺎ ] C’B’ [ ﻲھ ﺻﻮةر ] BC [ ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
وﻟﺪﯾﺎﻨ I ﻣﻨﺘﺼﻒ ] BC [ و نأ D ھﻲ ﺻﻮةر I ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب إذن ﻓﺈن ﺣﺴﺐ ﺧﻮاص اﻹﻧﺴﺤﺎب ﻓﺈن
D ﻣﻨﺘﺼﻒ ] B’C’ [
4 ( ﻃﺒﯿﻌﺔ اﻟﻤﺜﺚﻠ B’IC’
ﻟﺪﯾﻨﺎ اﻟﻨﻘﻂ D , I , A ﻋﻠﻰ إﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
8
و ) CB ) // ( C’B’ ( و ) AI ( ﻣﺤرﻮ ] BC [ ﻓﮭﻮ ﻣﺤرﻮ ] C’B’ [ وھﺬا ﯾﻌﻨﻲ نأ IC’ = IB’ ﻓﺎﻟﻤﺜﻠﺚ B’IC’ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ رأﮫﺳ I
ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ 16 ص 183
1 ( اﻟﺸﻜﻞ
2 ( B’ ﺻﻮةر B ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤﻮّل A إﻟﻰ C
إذن ACB’B ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
C’ ﺻﻮةر C ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ C
إذن ) CC’ ) // ( AC ( و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ اﻟﻨﻘﻂ C’ ,C , A
ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة و ﺑﻤﺎ نأ AC = CC’
ﻓﺈن C ھﻲ ﻣﻨﺘﺼﻒ ] AC’ [
3 ( ﻧﺒﺮھﻦ أن اﻟﻤﺜﺚﻠ B’C’C ﻗﺎﺋﻢ ﻲﻓ C
ﺑﻤﺎ أن اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC ﻗﺎﺋﻢ ﻲﻓ B
وﻟﺪﯾﻨﺎ ﺻﻮةر A ﺑﮭﺬا اﻻﻧﺴﺤﺎب ﻲھ C وﺻﻮرة C ﻲھ C’ وﺻﻮرة B ﻲھ B’ ﻓﺎﻟﻤﺜﻠﺚ B’C’C ﻗﺎﺋﻢ ﻲﻓ B’ ) ﺣﺴﺐ ﺧﻮصا
اﻹﻧﺴﺤﺎب ( ﯾﺤﻔﻆ اﻟﺰواﯾﺎ
وﺑﺘﻄﺒﯿﻖ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس ﻓﺈن
2
‘ ‘C B +
2
‘C B =
2
‘ CC
2
‘ ‘C B + 16 = 36
16 – 36 =
2
‘ ‘C B
20 =
2
‘ ‘C B
4.4 = 20 = B’C’
ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ 17 ص 183
1 ( ﺗﺤﺪﯾﺪ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة ) C’ ( ﺻﻮةر ) C ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤﻮّل O إﻟﻰ A
ـ ﻧﻌﻠﻢ أن ﺻﻮرة داﺋﺮة ﻣﺮﻛﺰﺎھ O ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب ھﻲ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ھﻲ ﺻﻮةر O ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﺬﻛﻮر ﺣﯿﺚ ﺑﻌﺪ ﻣﺮﻛﺰﺎھ
ﻦﻋ O ھﻲ ﻧﻔﺴﮭﺎ OA
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
9
إذن اﻟﺪاﺋﺮة ) C’ ( ﻣﺮﻛﺰھﺎ ﻮھ A
2 ( إﺛﺒﺎت أن اﻟﻨﻘﺔﻄ O ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ) C’ (
اﻟﻨﻘﺔﻄ A ﻣﺮﺰﻛ ) C’ ( إذن OA ھﻮ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰﺎھ A ھﺬا ﯾﻌﻨﻲ نأ
O ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ) C’ (
ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ 18 ص 184
ﻟﺪﯾﻨﺎ O’ ھﻲ ﺻﻮةر O و B ﺻﻮةر A ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل O إﻟﻰ O’ ﻓﺎﻟﺮﺑﺎﻲﻋ OO’BA ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ﻓﯿﮫ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ
] O’A [ و ] O’B [ ﻣﺘﻘﺎﺑﻼن
إذن ﻓﮭﻤﺎ ﻣﺘﻘﺎﯾﺴﺎن يأ OA = O’B
ﺑﻤﺎ نأ A ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﺪاﺋﺮة ) C ( و اﻟﺪاﺋﺮة ) C’ ( ھﻲ ﺻﻮةر ) C ( ﺑ َﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب ﻓﺈن ﺻﻮةر A يأ B ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ) C’ (
ﺣﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ 19 ص 184
1 ( رﺳﻢ اﻟﺸﻜﻞ ﺑﻜﻞ ﻋﻨﺎﯾﺔ ودﺔﻗ ) ﺑﺈﺳﺘﻌﻤﺎل اﻷﻟﻮنا (
2 ( ﺣﺴﺎب اﻟﻘﯿﺲ B A I ˆ
اﻟﻤﺜﺚﻠ ABI ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ إذن G A I ˆ = B A I ˆ
ﻷﻧﮭﻤﺎ زاوﯾﺘﻲ اﻟﻘﺎﻋﺪة
) AB ( ^ ) IG ( إذن اﻟﻤﺜﺚﻠ IAG ﻗﺎﺋﻢ ﻲﻓ G
وﻣﻦ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ IG = 3 cm
و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ 0.8 = ى
5
4
=
AI
AG
= G A I ˆ cos = B A I ˆ cos
ﺑﺈﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ 36.86° » G A I ˆ
ـ إﺳﺘﻨﺘﺎج أن اﻟﺰاوﯾﺔ B I A ˆ ﻣﻨﻔﺮﺔﺟ
اﻟﻤﺜﺚﻠ AIB ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ ) ﻓﺮﺎﺿ (
ﻣﻦ اﻟﺤﺴﺎب اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﺪﯾﻨﺎ
) 73°.72 = 36°:86 × 2 = ( G A I ˆ + B A I ˆ
أي أن ﻣﺠﻤﻮع زاوﯾﺘﻲ اﻟﻘﺎﻋﺪة أﺻﻐﺮ ﻣﻦ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ إذن زاوﯾﺔ اﻟﺮأس B I A ˆ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﻓﮭﻲ ﻣﻨﻔﺮﺔﺟ
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
10
3 ( ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻮﺻ ّر اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤتﺎ ) AH ( و ) BH ( ) و IH ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ D
ﻣﻦ اﻟﻤﻌﻠﻮم أﻧﮫ ﻟﺘﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮرة ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﺈﻧﺴﺤﺎب ﻣﺎ ﯾﻜﻔﻲ ﺗﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮةر ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ﻣﻦ ھﺬا اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﻟﺬا ﯾﻜﻔﻲ أن ﻧﻌﯿﯿﻦ ﻣﻦ ﻞﻛ
ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ وﺗﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮرﺗﯿﮭﻤﺎ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﺬﻛﻮر أو ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻧﻘﻄﺔ و ﻣﻨﺤﻰ ﺛﻢ ﺗﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻷن ﻣﻨﺤﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ
ﻣﻌﻠﻮم ، وأن اﻹﻧﺴﺤﺎب ﯾﺤﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮازي و ﯾﺤﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ اﻟﺰواﯾﺎ و ﯾﺤﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻌﺎﻣﺪ
ـ ﻧﻼﺣﻆ أن اﻟﻨﻘﺔﻄ H ھﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻼﻗﻲ إرﺗﻔﺎﻋﺎت اﻟﻤﺜﺚﻠ AIB
ﺗﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) AH (
) HA ( ھﻮ ﺣﺎﻣﻞ اﻹرﺗﻔﺎع اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻀﻊﻠ ] AI [
إذن ) HA ( ^ ) BI (
ـ اﻟﻨﻘﺔﻄ D ھﻲ ﺻﻮةر A ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤﻮّل A إﻟﻰ D
ـ A ﻧﻘﺔﻄ ) HA ( و ) HA ( ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ) BI (
إذن ﺻﻮةر ) HA ( ھﻮ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬي ﯾﺸﻞﻤ D و ﯾﻮازي ) HA ( يأ ) DF (
ﺗﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) HB (
ﺑﻄﺮﯾﻘﺔﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﻧﺒﺮھﻦ أن ﺻﻮةر ) HB ( ﺑﻨﻔﺲ اﻹﻧﺴﺤﺎب ﻮھ ) EC ( ﻋﻠﻤﺎ ً أن ﺻﻮةر B ﻲھ C (
ﺗﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) IH (
إن ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﺔﻄ I ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﻌﻄﻰ ھﻲ اﻟﻨﻘﺔﻄ G ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ IADG ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
) ﯾﻤﻜ ﻦ ﺑﺈﺳﺘﻌﻤﺎل ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس إﺛﺒﺎت نا ] AD [ ] و IG [ ﻣﺘﻘﺎﯾﺴﺘﺎن وھﻤﺎ أﯾﻀﺎ ً ﻣﺘﻮازﯾﺎن ﻷﻧﮭﻤﺎ ﻋﻤﻮدﯾﺎن ﻋﻠﻰ ) AB (
ـ اﻟﻨﻘﻂ H , G , I ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ إﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة ﻓﺈن ﺻﻮةر ) IH ( ﻲھ ) IG ( ﻷن اﻹﻧﺴﺤﺎب ﯾﺤﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ إﺳﺘﻘﺎﻣﯿﺔ اﻟﻨﻘﻂ
إذن ﺻﻮةر ) IH ( ﻲھ ) IH (
4 ( إﺳﺘﻨﺘﺎج نأ ) CE ( ) و DF ( ) و IG ( ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺔ
اﻟﻨﻘﺔﻄ H ھﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻼﻗﻲ اﻹرﺗﻔﺎﻋﺎت اﻟﺜﻼﺛﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺚﻠ AIB اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤتﺎ ) CE ( و ) DF ( و ) IG ( ھﻲ ﺻﻮر إرﺗﻔﺎﻋﺎت ھﺬا
اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤبﺎ
إذن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤتﺎ ) CE ( و ) DF ( و ) IG ( ﺗﺘﻼﻗﻰ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻨﻘﻄﺔ وھﻲ ﺻﻮةر H ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
11
ﺣﻞ ﻣﺴﺄﻟﺔ 20 ص 184
1 ( اﻟﻨﻘﺔﻄ N’ ھﻲ ﺻﻮةر N ﺎﺑ ﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ M ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ AMN’N ﻣﺘﻮازي اﺿعﻼ
2 ( اﻟﻨﻘﺔﻄ P ‘ ھﻲ ﻧﻈﯿﺮة M ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ A وﯾﻤﻜﻦ أن ﻧﻘﻮل نأ A ھﻲ ﺻﻮةر P ﺑﻨﻔﺲ اﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺴﺎﻖﺑ ) ﻻﺣﻆ أن اﻟﻨﻘﻂ P
و A و M ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ إﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة (
ـ A’ ﻧﻈﯿﺮة N ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ A إذن AA’ = NA
و ) NA ) // ( AA’ (
3 ( أﻧﺸﺎء اﻟﻨﻘﺔﻄ P’ اﻟﺘﻲ ﺻﻮرﺗﺎﮭ A’ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ M
إذن اﻟﻨﻘﺔﻄ A’ ھﻲ ﺻﻮةر P’ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﺬﻛﻮر وﻣﻨﮫ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ P’A’MA ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
4 ( ﻟﺪﯾﻨﺎ A ﺻﻮةر P وأن A’ ﺻﻮةر P’ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﻧﻔﺲ اﻹﻧﺴﺤﺎب إذن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ AA’P’P ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
5 ( اﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤﻮّل A’ إﻟﻰ M ، ﯾﺤﻮ لّ P’ إﻟﻰ A ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ A’MAP’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ﺣﺴﺐ اﻟﺒﺮھﺎن اﻟﺜﺎﺚﻟ
ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب ﯾﺤ ﻮّل أﯾﺎﻀ A إﻟﻰ N’ وﯾ ﻮﺤّل P إﻟﻰ N ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ PAN’N ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ﻧﺮﺗﺐ ھﺬه اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﻛﺎﻵﺗﻲ :
اﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A’ إﻟﻰ M ﯾﺤ ﻮّل أﯾﺎﻀ
M A’
A P’
N P
N’ A
إذن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ MANN’ ھﻮ ﺻﻮرة اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ A’P’PA ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
ـ ﺑﻤﺎ أن اﻹﻧﺴﺤﺎب ﯾﺤﻔﻆ اﻷﺷﻜﺎل و ﺑﻤﺎ نأ MANN’ ھﻮ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ﻓﺈن A’P’PA أﯾﺎﻀ " ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ـ ﻋﻠﻤﺎ أن اﻹﻧﺴﺤﺎب ﯾﺤﻔﻆ اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت ﻓﺈن اﻟﺮﺑﺎﻋﯿﺎن ﻟﮭﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
12
ﺣﻞ ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 185 ﻣﻦ إﺧﺘﺒﺮ ﻣﻜﺘﺴﺒﺎﻚﺗ
1 ( اﻟﺘﻤﻌﻦ ﻲﻓ اﻟﻤﺠﺴﻤتﺎ
2 (
اﻟﻤﺠﻢﺴ إﺳﮫﻤ ﻋﺪد
اﻷوﺟﮫ
اﻟﺠﺎﻧﺒﺔﯿ
ﻋﺪد
ﻗﻮاﻋهﺪ
ﻋﺪد
اﻷﺣﺮف
اﻟﺠﺎﻧﺒﺔﯿ
ﻋﺪد
اﻷﺣﺮف
اﻟﻜﻠﺔﯿ
ﻋﺪد
رؤوﺳﮫ
) 1 (
وايز
ﻣﺴﺘﻄﯿﻼت
6 2 4 12 8
) 2 (
أﺳﻄﻮاﻧﺔ
دوران
2 2 0 0 0
) 3 (
ﻣﻮﺷﻮر
ﻗﺎﻢﺋ
7 2 5 15 10
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 186
1 ( ﻧﻌﻢ
اﻟﺼﻮرة ھﻲ أھﺮاﻣﺎت اﻟﺠﯿﺰة ﺑﻤﺮﺼ
2 ( اﻷﺷﯿءﺎ اﻟﻮاردة ﻓﻲ اﻟﻮﺼ ّر ھﻲ ﻣﺠﺴﻤﺎت ﻣﺮﻛﺒﺔ
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 186
1 ( وﺻﻒ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﮭﺮم و اﻟﻤﻮﺷﻮر اﻟﻘﺎﻢﺋ
ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﺘﺸﺎﺑﮫ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﻲھ : اﻟﻘﻮاﻋﺪ و اﻷوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺴﻤﯿﻦ ھﻲ ﻣﻀﻠﻌتﺎ
ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻹﺧﺘفﻼ
اﻟﮭﺮم اﻟﻤﻮﺷﻮر اﻟﻘﺎﻢﺋ
ـ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ واﺣﺪة ) وھﻲ ﻣﻀﻊﻠ ( ـ ﻗﺎﻋﺘنﺎ ) وھﻤﺎ ﻣﻀﻠﻌﺎ ن (
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
13
ـ أوﺟﮭﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻣﺜﻠﺜﺎت ـ أوﺟﮭﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻣﺴﺘﻄﯿﻼت
ـﺎﻷوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﺗﺸﺘﺮك ـ أوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻋﻤﻮدﯾﺔ ﻋﻠﻰ
ﻓﻲ رأس واﺣﺪ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ
2 ( s ﻗ ،ﻤﺔ اﻟﮭﺮم SC و SB أﺣﺮف اﻟﮭﺮم ، اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ABCD ﻗ ،ﺎﻋﺪة اﻟﮭﺮم A و D رؤوس اﻟﮭﺮم ، اﻟﻤﺜﺚﻠ SAB وﺟﮫ
ﺟﺎﻧﺒﻲ
اﻟﺸﻜﻞ اﻟﮭﻨﺪﺳﻲ ﻟﻘﺎﻋﺪة ھﺬا اﻟﮭﺮم ھﻮ ﻣﻀﻊﻠ
ـ اﻷﺷﻜﺎل اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ اﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ﻟﻠﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﮭﺬا اﻟﻤﺠﺴﻢ ھﻲ ﻣﺜﻠﺜتﺎ
ﻧﺸطﺎ ) 3 ( ص 186
1 ( أھﺮاﻣﺎت ارﺗﻔﺎﻋﮭﺎ ﯾﺸﻤﻞ اﻟﮭﺮم و ﻣﺮﻛﺰ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻣﺜﻞ اﻟﮭﺮم ) 1 (
ـ أھﺮاﻣﺎت ارﺗﻔﺎﻋﮭﺎ ﯾﺸﻤﻞ رأس اﻟﮭﺮم وﻻ ﯾﺸﻤﻞ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻣﺜﻞ اﻟﮭﺮم ) 2 (
2 ( أھﺮاﻣﺎت ﻗﺎﻋﺪﺗﮭﺎ ﻣﻀﻠﻊ ﻣﻨﺘﻈﻢ ) ﻗﺎﻋﺪة اﻟﮭﺮم ) 1 ( ﻣﺮﻊﺑ (
أھﺮاﻣﺎت ﻗﺎﻋﺘﮭﺎ ﻟﯿﺴﺖ ﻣﻀﻠﻊ ﻣﻨﺘﻈﻢ ) ﻗﺎﻋﺪة اﻟﮭﺮم ) 3 ( ﻣﺴﺘﻄﻞﯿ (
ﯾﺘﻢ اﻟﺘﻤﯿﯿﺰ ﻓﻲ ھﺬا اﻟﺴﺆال أﯾﻀﺎ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت اﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ﻟﻸوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﻟﮭﺮﻣﯿﻦ .
ﻓﻲ اﻟﮭﺮم ) 1 ( ﻛﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ﻣﻘﺎﯾﺔﺴ
ﻓﻲ اﻟﮭﺮم ) 2 ( اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ﻛﻠﮭﺎ ﻣﻘﺎﯾﺔﺴ
3 ( ﻓﻲ ھﺬا اﻟﺴﺆال ﻗﺒﻞ إﺗﻤﺎم اﻟﻨﺺ ﯾﻄﻠﺐ ﺗﻌﻠﯿﻞ ﺗﻘﺎﯾﺲ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت اﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ﻟﻸوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻠﮭﺮم ) 1 ( اﻟﺬي ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻣﺮﺑﻊ و ﻋﺪم
ﺗﻘﺎﯾﺲ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت اﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ﻟﻸوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻠﮭﺮم ) 2 ( اﻟﺬي ﻗﺎﻋﺪﻧﮫ ﻣ ﺴﺘﻄﯿﻞ
ﯾﻤﻜﻦ ذﻟﻚ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ
* ﻗﺎﻋﺪة اﻟﮭﺮم ) 1 ( ﻣﻀﻠﻊ ﻣﻨﺘﻈﻢ ) ﻣﺮﻊﺑ ( و إرﺗﻔﺎﻋﮫ ﯾﺸﻤﻞ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻧﻘﻮل أﻧﮫ ھﺮم ﻣﻨﺘﻈﻢ
* أوﺟﮭﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻣﺜﻠﺜﺎت ﻣﺘﻘﺎﯾﺴﺔ و ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ
4 ( إن اﻟﮭﺮﻣﯿﻦ ) b ( و ) c ( ﻣﻨﺘﻈﻤﯿﻦ
) b ( ﻗﺎﻋﺘﮫ ﻣﺮﺑﻊ و إرﺗﻔﺎﻋﮫ ﯾﺸﻤﻞ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻘﺎﻋﺪة
) c ( ﻗﺎﻋﺘﮫ ﻣﺜﺚﻠ ﻣﺘﻘﺎﯾﺲ اﻷﺿﻼع وإرﺗﻔﺎﻋﮫ ﯾﺸﻤﻞ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻘﺎﻋﺪة
أﻣﺎ اﻟﮭﺮﻣﯿﻦ ) a ( و ) d ( ﻓﮭﻤﺎ ﻟﯿﺲ ﻣﻨﺘﻈﻤﯿﻦ نﻷ ) ارﺗﻔﺎﻋﯿﮭﻤﺎ ﻻ ﯾﺸﻤﻼن ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻘﺎﻋﺪة
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
14
ﻣﻨﺎﻗﺸﺔ ﺗﻤﺮﯾﻦ ) 1 ( ص 201
اﻟﻤﺠﺴﻤﺎت اﻟﺒﺴﯿﻄﺔ ﻲھ :
) 1 ( ھﺮم ﻗﺎﻋﺘﮫ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻘﺎﯾﺲ اﻷﺿﻼع
) 3 ( ﻣ ،ﻮﺷﻮر ﻗﺎﻢﺋ ) 5 ( ھ ،ﺮم ﻗﺎﻋﺘﮫ ﻣﺮﻊﺑ ) 6 ( ھﺮم ﻗﺎﻋﺘﮫ ﺜﻣ ﺚﻠ
اﻟﻤﺠﺴﻤﺎت اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ﻲھ :
) 2 ( أ ،ﺳﻄﻮاﻧﺔ ﻏﻄﺎﺋﮭﺎ ﻣﺨﺮوط دوران ) 4 ( ﻣﺘﻮازي ﻣﺴﺘﻄﯿﻼت ﻏﻄﺎﺋﮫ ھﺮم
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 187
1 ( اﻟﻤﺠﺴﻤﺎت اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ﯾﻄﻠﺐ وﺻﻒ ﻛﻞ ﻣﻨﮭﺎ ﻣﻊ ذﻛﺮ إﺳﻢ ﻛﻞ ﻣﺠﺴﻢ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺴﻤﺎت اﻟﺘﻲ ﯾﺘﺮﻛﺐ ﻣﻨﺎﮭ
2 ( ﻣﻄﺎﻟﺒﺔ اﻟﺘﻼﻣﯿﺬ ذﻛﺮ أﺷﯿﺎء أﺧﺮى ﻟﮭﺎ ﺷﻜﻞ ﻣﺨﺮوط
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 188
1 ( ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﺘﺸﺎﺑﮫ : ھﻲ ﻗﺎﻋﺪة ﻛﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ ﻋﺒﺎرة ﻋﻦ ﻗﺮص
ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻹﺧﺘفﻼ
أﺳﻄﻮاﻧﺔ دوران ﻣﺨﺮوط دوران
ـ ﻗﺎﻋﺘﯿﻦ ﻛﻞ واﺣﺪةھﻲ ﻗﺮص ـ ﻗﺎﻋﺪة واﺣﺪةھﻲ ﻗﺮص
ـ أوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻋﻤﻮدﯾﺔ ﻋﻠﻰ ـ اﻷوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﺗﺸﺘﺮك
اﻟﻘﺎﻋ ﺪﺗﯿﻦ ﻓﻲ رأس واﺪﺣ
2 ( رأس اﻟﻤﺨﺮوط ، اﻟﻮﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ، اﻟﻘﺎﻋﺪة
ـ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﮭﻨﺪﺳﻲ ﻟﻠﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻠﻤﺠﺴﻢ ھﻮ ﺳﻄﺢ ﻣﻨﻦﺤ
ـ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﮭﻨﺪﺳﻲ ﻟﻘﺎﻋﺪة ھﺬا اﻟﻤﺠﺴﻢ ھﻮ ﻗﺮص
ﻧﺸطﺎ ) 3 ( ص 188
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
15
1 ( اﻟﺸﻜﻞ اﻟﮭﻨﺪﺳﻲ اﻟﺬي ﺗﺮﺳﻤﮫ اﻟﻨﻘﻄﺔ ھﻮ داﺋﺮة
[ OS 2 ( ا رﺗﻔﺎع اﻟﻤﺨﺮوط ) 5 ( ھﻮ اﻟﻘﻄﺔﻌ ]
( d اﻟﻲﺘ ﺣﺎﻣﻠﮭﺎ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ )
SM=SM’ ﻹﺛﺒﺎت نأ
ﻣﺘﻘﺎﯾﺴنﺎ SOM , SOM’ ﻧﺜﺒﺖ أن اﻟﻤﺜﻠﺜﻦﯿ
ـ ﻛﻞ ﻣﻮﻟﺪات اﻟﻤﺨﺮوط ﻣﻘﺎﯾﺔﺴ
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 189
ﻟﻢ ﺗﺴﺘﻌﻞﻤ ) ﻓﻲ ﻞﻛ اﻷﻣﺎﻛﻦ إﻟﺘﻲ ﯾﺠﺐ إﺳﺘﻌﻤﺎﻟﮭﺎ ( ﺗﻘﻨﯿﺔ اﻟﻤﻨﻈﻮر اﻟﻤﺘﺴﺎوي اﻟﻘﯿسﺎ . أﻧﻈﺮ اﻟﺸﻜﻞ ) 1 (
اﻟﺤﺮف ] SD [ ﯾﻜﻮن ﻣﻨﻘﻄﺎ ﻷﻧﮫ ﺧﻠﻒ اﻟﻮﺟﮭﯿﻦ SAB و SAC
ـ ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران اﻟﺸﻜﻞ ) 2 ( ﯾﺤﺘﻤﻞ إﺟﺎﺑﺘﯿﻦ وذﻟﻚ ﺣﺴﺐ ﻣﻮﻗﻊ اﻟﺮؤﺔﯾ
ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺮؤﯾﺔ ﻣﻦ اﻷﺳﻔﻞ ﻓﺈن اﻟﺮﺳﻢ ﺻﺤﺢﯿ
ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺮؤﯾﺔ ﻣﻦ اﻟﺠﺎﺐﻧ ﻓﺈن اﻟﺮﺳﻢ ﻟﯿﺲ ﺻﺤﯿﺤﺎ
ﺟﺰء ﻣﻦ اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻻ ﯾﺮى ﻷﻧﮫ ﯾﻘﻊ ﺧﻠﻒ اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 189
1 ( ﻻ ﺗﺮى ﻛﻞ أﺟﺰاء ھﺬﯾﻦ اﻟﻤﺠﺴﻤﻦﯿ
2 ( رﺳﻢ ھﺮم ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺑﺤﯿﺚ ﯾﻜﻮن ﻛﻞ ﺟﺰء ﻻ ﯾﺮى ﻣﻨﻂﻘ
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ﻣﻦ إﺧﺘﺒﺮ ﻣﻜﺘﺴﺒﺎﻚﺗ
) 1 ( اﻟﺘﺼﻤﯿﻤﺎن اﻟﺼﺤﯿﺤﺎن ھﻤﺎ a و c
اﻷﺧﻄﺎء اﻟﻮاردة ﻓﻲ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ اﻟﺨﺎﺊﻃ b ھﻮ أن اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﺠﮭﺔ و ﺣﺘﻰ ﯾﻜﻮن ﺻﺤﯿﺢ ﻧﺮﺳﻢ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﺟﮭﺔ
أﺧﺮى ﻟﻌﺮض اﻟﻤﺴﺘﻄﻞﯿ
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
16
) 2 ( اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ اﻟﺼﺤﯿﺢ ﻮھ : g
اﻷﺧﻄﺎء اﻟﻮاردة ﻓﻲ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ f ھﻮ أن اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻣﺮﺳﻮﻣﺔ ﻓﻲ اﻷﻋﻠﻰ وﺣﺘﻰ ﯾﻜﻮن اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ ﺻﺤﯿﺢ ﺗﺮﺳﻢ اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻓﻲ اﻟﺎﺠ ﻧﺐ و
ﻟﯿﺲ أﺳﻞﻔ
ـ اﻟﺨﻄﺄ اﻟﻮارد ﻓﻲ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ h اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ ﻏﯿﺮ ﻣﺮﺳﻮﻣﯿﻦ ﻓﻲ ﺟﺎﻧﺒﻲ اﻟﻤﺴﺘﻄﻞﯿ
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 192
ﻣﻼﺣﻈﺔ : ﺗﻜﻮن اﻷﻧﺸﻄﺔ ﻣﺤﻀﺮة ﻓﻲ اﻟﺒﯿﺖ
1 ( أﺣﺴﻦ ﻃﺮﯾﻘﺔ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺼﻤﯿﻢ ﻣﺠﺴﻢ ھﻮ اﻹﻧﻄﻼق ﻣﻦ ﻣﺠﺴﻢ ﺣﻘﯿﻘﻲ و ﯾﺴﺘﺤﺴﻦ إﺳﺘﻌﻤﺎل اﻷﻟﻮان ﻟﺘﻌﯿﯿﻦ أﺿعﻼ
اﻷﺷﻜﺎل اﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﻋﻦ ﻧﻔﺲ اﻟﺤﺮف ) ﻧﻔﺲ اﻟﻠّﻮن ﻟﻨﻔﺲ اﻟﺤﺮف (
ھﺬا ﻗﺒﻞ ﻧﺸﺮ أوﺟﮫ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻣﺠﺴﻤﻲ اﻟﺴﺆاﻟﻦﯿ 1 و 2 ﻣﻦ اﻟﻨﺸطﺎ
3 ( اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ اﻟﻮﺣﯿﺪ اﻟﺬي ﯾﻤﺜﻞ ﺗﺼﻤﯿﻤﺎ ﻟﻤﺨﺮوط دوراﻧﻲ ھﻮ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ ) 3 (
ـ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺘﺼﻤﯿﻢ ) 1 ( إذا ﺪﻋّل ) ﺑﻔﺼﻞ اﻟﻘﺮص ﻋﻦ ﻣﻜﺎﻧﮫ ﻣﺜﻼ ( ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺗﺼﻤﯿﻢ ﻟﻤﺨﺮوط دوراﻲﻧ
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 193
ﻲﻓ اﻟﺘﺼﺎﻣﯿﻢ اﻟﻤﻘﺪﻣﺔ ﻓﻲ ﻛﺘﺎب اﺗﻠﺘﻠﻤﯿﺬ ﺧﻠﻞ ﺗﻘﻨﻲ ﻟﺬا ﯾﻌﺎد ﺗﻘﺪﯾﻤﮭﺎ ﻓﻲ اﻟﺪﻟﻞﯿ
1 ـ اﻟﺘﺼﻤﯿﻤﺎن ) 1 ( ) و 2 ( ھﻤﺎ ﺗﺼﻤﯿﻤﺎن ﻟﮭﺮﻣﯿﻦ ﻣﻨﺘﻈﻤﯿﻦ ﯾﻄﻠﺐ ﻣﻦ اﻟﺘﻼﻣﯿﺬ ﺗﻌﻠﯿﻞ ذﻟﻚ
ـ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ ) 3 ( ﻟﯿﺲ ﺗﺼﻤﯿﻤﺎ ﻟﮭﺮم ﯾﻄﻠﺐ ﺗﻌﻠﯿﻞ ذﻟﻚ .
ﯾﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺼﻤﯿﻢ ﻟﮭﺮم ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺑﺘﻌﺪﯾﻞ ﻃﻔﯿﻒ ﻟﻤﻮاﻗﻊ ﺑﻌﺾ اﻷوﺟﮫ ﻓﯿﮫ
ـ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ ) 4 ( ﻟﯿﺲ ﺗﺼﻤﯿﻤﺎ ﻟﮭﺮم ﻣﻨﺘﻈﻢ ﯾﻄﻠﺐ ﺗﻌﻠﯿﻞ ذﻟﻚ
2 ـ ﯾﻤﻜﻦ اﻹﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠﻰ أﺣﺪ ﺗﺼﺎﻣﯿﻢ اﻟﺴﺆال اﻟﺴﺎﻖﺑ
أو ﺗﺮك اﻟﺤﺮﯾﺔ ﻟﻠﺘﻠﻤﯿﺬ ﻓﻲ إﻧﺠﺎز ﺗﺼﻤﯿﻢ آﺧﺮ ﻋﻠﻰ أن ﯾﻜﻮن ﺑﺎﻷﻃﻮال اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ﺛﻢ ﯾﺼﻨﻊ ھﺬا اﻟﮭﺮم
ﻧﺸطﺎ ) 3 ( ص 193
ﯾﺘﺒﯿّﻦ اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ ﻓﻲ اﻟﻨﺸطﺎ ) 1 ( ﻣﻦ اﻟﻔﻘﺮة ﻟﻠﺘﻮﻇﯿﻒ نأ اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻤﺨﺮوط دوراﻧﻲ ھﻮ ﻗﻄﺎع ﻗﺮص
1 ـ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﻇﮭﻮر ﺻﻌﻮﺑﺔ ﻣﺎ ﻟﺪى ﺑﻌﺾ اﻟﺘﻼﻣﯿﺬ ﯾﻤﻜﻦ رﺳﻢ اﻟﻤﺨﺮوط ﻋﻠﻰ اﻟﺴﺒﻮرة و إﺑﺮاز ﻋﻠﻰ ھﺬا اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﻤﺜﺚﻠ
SOM ﺑﺎﻠﻟ ّﻮن اﻷﺣﻤﺮ و ﻛﺬﻟﻚ رﻣﺰ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﻋﻨﺪ اﻟﺮأس O ﺑﮭﺬا ﻗﺪ ﯾﮭﺘﺪي اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ إﻟﻰ اﻹﺟﺎﺑﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺴﺆلا
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
17
2 ـ ﻓﻲ اﻟﻔﺮع اﻷول ﻣﻦ اﻟﺴﺆال ﯾﻄﻠﺐ ﺷﺮح ﺳﺒﺐ ﺗﺴﺎوي ﻃﻮل ﻗﻮس C B
)
و ﻣﺤﯿﻂ ﻗﺮص اﻟﻘﺎﻋﺪة ﺛﻢ ﯾﻄﻠﺐ إﺳﺘﻨﺘﺎج ﻃﻮل
ھﺬا اﻟﻘﻮس
* ﯾﻤﻜﻦ اﻹﻧﻄﻼق ﻣﻦ ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران وإﺗﺒﺎع ﻣﺮاﺣﻞ ﻧﺸﺮه ﺑﺎﻟﻘﺺ ﻣﺜﻠﻤﺎ ھﻮ وارد ﻓﻲ اﻟﺴﺆلا ) 2 ( ﻣﻦ اﻟﻨﺸطﺎ ) 1 (
ـ ﻟﻠﻮﺻﻮل ﻋﻤﻠﯿﺎ إﻟﻰ ﻓﮭﻢ ﺳﺒﺐ ﺗﺴﺎوي ﻃﻮل اﻟﻘﻮس C B
)
ﻣﻊ ﻣﺤﯿﻂ ﻗﺮص اﻟﻘﺎﻋﺪة ) ﻋﻨﺪ ﻣﺤﺎوﻟﺔ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺼﻤﯿﻢ
اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪوراﻧﻲ ﺳﻮف ﯾﻼﺣﻆ أن ﻗﻮس ﻗﻄﺎع اﻟﻘﺮص اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻣﺘﻄﺎﺑﻖ ﻣﻊ ﻣﺤﯿﻂ ﻗﺮص اﻟﻘﺎﻋﺪة (
ـ ﺑﻤﺎ أن ﻃﻮل اﻟﻘﻮس C B
)
ﯾﺴﺎوي ﻣﺤﻂﯿ ﻗﺮص اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻓﺈن ﻃﻮل اﻟﻘﻮس C B
)
ﻮھ cm p 12 = cm p ´ ´6 2
ـ ﻓﻲ اﻟﻔﺮع اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻣﻦ اﻟﺴﺆلا ) ﺑﻮﺿﻊ اﻟﺤﺮف S ﺑﺪﻻ ﻦﻣ A ( ﯾﺘﯿﺒ ّﻦ ﻟﻠﺘﻠﻤﯿﺬ أن ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻃﻮل ﻗﻮس اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻠﻤﺨﺮوط
ﻻﯾﻜﻔﻲ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﮭﺬا اﻟﻤﺨﺮوط
ـ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﺮص ) ﻃﻮل اﻟﺪاﺋﺮة ( اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰﺎھ S وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ 10cm ﻮھ cm p 20 = cm p × 10 × 2
إذا ﻛﺎن x ھﻮ ﻗﯿﺲ زاﯾو ﺔ اﻟﻘﻄﺎع ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺟﺪول اﻟﺘﻨﺎﺳﺒﯿﺔ
216° =
p
p
20
360 12 ´ ´
= x
ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻗﯿﺲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ ﻟﻠﻘﻄﺎع اﻟﺘﻲ ﺗﺤﺼﺮ اﻟﻘﻮس C B
)
ﻮھ 216°
ـ ﺑﺎﻻﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت اﻟﺘﻲ اﺳﺘﻨﺘﺠﺖ ﻣﻦ اﻟﺴﺆال اﻟﺴﺎﺑﻖ ﯾﻤﻜﻦ إﻧﺠﺎز ﺗﺼﻤﯿﻢ ﻟﻠﻤﺨﺮوط اﻟﻤﻄﻠﻮب
ﯾﺘﻜﻮن ھﺬا اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ ﻦﻣ
ـ ﻗﺎﻋﺪة ھﻲ ﻗﺮص ﻗﻄهﺮ 6cm
ـ ﺳﻄﺢ ﺟﺎﻧﺒﻲ ھﻮ ﻗﻄﺎع ﻗﺮص ﻗﯿﺲ زاوﯾﺘﮫ اﻟﻤﺮﻛﺰﺔﯾ 216° وﻧﺼﻒ ﻗﻄهﺮ 10cm ﻟﺼﻨﻊ اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﻤﻄﻠﻮب ﺑﺴﮭﻮﺔﻟ
ﯾﺴﺘﺤﺴﻦ ﺗﺮك أﺷﺮﻃﺔ ﻟﺼﻖ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ
4 ـ ﯾﺘﻮﺻﻞ اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ ﻋﺒﺮ ھﺬا اﻟﺴﺆال إﻟﻰ ﻋﻼﻗﺔ ﺑﺴﯿﻄﺔ ﺗﺴﻤﺢ ﻟﮫ ﺑﺤﺴﺎب ﻗﯿﺲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺮﻛ ﺰﯾﺔ ﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻤﺨﺮطو
دوراﻲﻧ
ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت اﻟﻮاردة ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ و اﻋﺘﻤﺎدا ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت اﻟﻮاردة ﻓﻲ اﻹﻃﺎر ) ﻛﺘﺎب اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ ( ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺟﺪلو
اﻟﺘﻨﺎﺳﺒﯿﺔ اﻵﻲﺗ
ﻗﯿﺲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻲﺘ
ﺗﺤﺼﺮ اﻟﻘﻮس ) ° (
360° x
ﻃﻮل اﻟﻘﻮس ) cm ( p × L × 2 p × r × 2
ﯾﻨﺘﺞ ﻣﻦ ﺟﺪول اﻟﺘﻨﺎﺳﺒﯿﺔ
x 360
12
p
20
p
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
18
360 ×
L
r
= 360 ×
L
r
´
´
2
2
=
p
p
´ ´
´ ´ ´
L
r
2
360 2
= x
اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻌﻄﯿﻨﺎ ﻗﯿﺲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ ﻟﻘﻄﺎع اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻤﺨﺮوط دوراﻧﻲ ﻲھ 360 ×
L
r
= x
ﺣﯿﺚ r ھﻮ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺮص اﻟﻘﺎﻋﺪة
L ھﻮ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺬي ﯾﻤﺜﻞ اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻠﻤﺨﺮوط
ﺑﺈﺳﺘﻌﻤﺎل ھﺬه اﻟﻌﻼﻗﺔ ﻟﺤﺴﺎ ب ﻗﯿﺲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﺔﯾ x ) اﻟﺴﺆلا ) 2 (( ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻨﺎﺗﺞ ﺑﺎﻟﻔﻌﻞ ﻟﺪﯾﻨﺎ
r = 6cm و L = 10cm إذن
210° = 6 × 36 =
10
6
× 360 = 360 ×
L
r
= x
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 194
1 ـ ﻗﺒﻞ اﻟﺘﻄﺮق ﻟﻠﻔﺮع اﻷول ﻻ ﺑﺪّ ﻣﻦ اﻟﺘﺄﻛﺪ أن اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ ﻋﻠﻰ ﻋﻠﻢ ﺑﺄن إرﺗﻔﺎع ھﺮم ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻗﺎﻋﺪة ھﺬا اﻟﮭﺮم و ﯾﺸﻤﻞ رأﮫﺳ
ﺣﺴﺎب اﻹرﺗﻔﺎع اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻘﺎﻋةﺪ ] AB [ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺚﻠ ShB
ﯾﺮﺳﻢ اﻟﮭﺮم ﻋﻠﻰ اﻟﺴﺒﻮرة وﯾﺒﺮز اﻟﻤﺜﺚﻠ SBh ﻣﺜﻼ
و ﯾﺴﺘﻌﻤﻞ رﻣﺰ اﻟﺰاوﯾﺔاﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ﺑﺎﻠﻟ ّﻮن اﻷﺣﻤﺮ ﺛﻢ ﻧﺤﺴﺐ اﻹرﺗﻔﺎع
ﺣﺴﺎب اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻠﮭﺮم اﻟﻤﻌﺘﺒﺮ
ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ اﻟﺘﻔﻄﻦ إﻟﻰ اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺔ اﻟﻮاردة ﻓﻲ اﻹﻃﺎر ) ﻛﺘﺎب اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ (
2 ـ ﯾﻄﻠﺐ ﻣﻦ اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ أن ﯾﻮﺿﺢ ﻣﺎھﻮ اﻟﻤﺮاد ﺑﺎﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻤﺠﺴﻢ ﺛﻢ ﻧﺤﺴﺐ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻄﻠﻮﺑ ﺔ
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 194
1 ـ ﻣﺴﺎﺣﺔ ھﺬا اﻟﻘﺮص
2
10 × p = B وﻣﮫﻨ p 100 = B
2 ـ
360
10 360
10
5 . 4
2
´ ´ ´ p
= y وﻣﮫﻨ p 10 × 4.5 = y
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
19
وﻣﮫﻨ p 45 = y
3 ـ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪوران اﻟﻤﻌﯿ ّﻦ ﻲھ :
p 45 = y
ﻧﺸطﺎ ) 3 ( ص 195
1 ـ ﺑﻌﺪ ﺣﺴﺎب ﻃﻮل ﺣﺮف اﻟﮭﺮم ﺑﺈﺳﺘﻌﻤﺎل ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮسر
2 ـ و إﻧﺠﺎز ﺗﺼﻤﯿﻢ ﻟﻠﮭﺮم ﺑﺄﻛﺒﺮ دﻗﺔ ﻣﻤﻜﻨﺔ
3 ـ و ﺑﻌﺪ ﺻﻨﻊ اﻟﻤﻜﻌﺐ ﺑﺎﻟﻄﺮﯾﻘﺔ اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ﯾﺴﺘﻨﺘﺞ أن ﻃﻮل ﺣﺮف اﻟﻤﻜﻌﺐ اﻟﻤﺼﻨﻮع ﻮھ 8cm
4 ـ ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﻤﻜﻌﺐ ﻧﺎﺗﺞ ﻋﻦ ﺗﺮﻛﯿﺐ 6 أھﺮاﻣﺎت
ﻟﮭﺎ ﻧﻔﺲ اﻷﺑﻌﺎد ﺳﻮف ﯾﺴﺘﻨﺘﺞ اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ أن ﺣﺠﻢ اﻟﮭﺮم ﻮھ :
ﺳﺪس ﺣﺠﻢ اﻟﻤﻜﻌﺐ اﻟﺬي أﺑﻌﺎهد 8cm ,8cm , 8cm
يأ
3
cm
3
8 ×
6
1
وﺑﻌﺪ ﻛﺘﺎﺑﺔ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺴﻤﺢ ﺑﺤﺴﺎب ھﺬا اﻟﺤﺠﻢ ﺑﺎﻟﻜﯿﻔﯿﺔ اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ يأ ) 8 ×
2
1
( × )
2
8 ( ×
3
1
ﺣﯿﺚ
2
cm
2
8 ھﻲ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﻜﺐﻌ
و 8 ×
2
1
ھﻮ إرﺗﻔﺎع اﻟﮭﺮم و ھﻮ أﯾﻀﺎ ً ﻧﺼﻒ إرﺗﻔﺎع اﻟﻤﻜﺐﻌ
ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن ﺣﺠﻢ ﻛﻞ ھﺮم ﻣﻦ اﻷھﺮاﻣﺎت اﻟﺴﺘﺔ ﻮھ
) ﺛﻠﺚ ﺟﺪاء ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﮭﺮم و إرﺗﻔﺎﻋﮫ (
5 ـ إﻧﻄﻼﻗﺎ ﻣﻦ ﻛﻞ ﻣﺎ ﺳﺒﻖ ﻣﻦ إﻧﺠﺎز و ﺻﻨﻊ و ﺣﺴبﺎ
ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ اﻟﻘﺎﻋﺪة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﺤﺴﺎب ﺣﺠﻢ ھﺮم وھﻲ :
h × B ×
3
1
= V ﺣﯿﺚ ﯾﺮﺰﻣ
B إﻟﻰ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﮭﺮم و h إﻟﻰ إرﺗﻔﺎع اﻟﮭﺮم
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
20
ﻧﺸطﺎ ) 4 ( ص 196
ﻋﻠﻤﺎ أن ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة ﻮھ 2cm ﻓﺈن ﻣﺤﯿﻄﮭﺎ ﻮھ
p × 2 × 2 أي ﺣﻮاﻟﻲ 12.56cm
ﻧﻼﺣﻆ أﻧﮫ ﻛﻠﻤﺎ زاد ﻋﺪد أﺿﻼع ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻛﻠﻤﺎ ﻛﺒﺮ ﻣﺤﯿﻄﮫ و اﻗﺘﺮﺑﺖ ﻣﻦ ﻃﻮل اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺤﯿﻄﺔ ﺑﮫ يأ 12.56cm
ﻛﻠﻤﺎ ﻛﺒﺮت ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ و إﻗﺘﺮﺑﺖ ﻣﻦ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺮص اﻟﻤﺤﺪد ﺑﮭﺬه اﻟﺪاﺋﺮة يأ
2
cm 12.566
ـ ﻻﺣﻈﻨﺎ أن اﺿﻼع اﻟﻤﻀﻠﻌﺎت اﻟﻤﻨﺘﻈﺔﻤ ) 1 ( ) و 2 ( ) و 3 ( و ) 4 ( ﻧﻘﺘﺮب ﺷﯿﺊ ﻓﺸﯿﺊ ﻣﻦ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﺮص
وﻣﻊ إﺗﻤﺎم رﺳﻢ اﻷھﺮاﻣﺎت اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ﻧﻼﺣﻆ أن اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﮭﺬه اﻷھﺮاﻣﺎت ﯾﻘﺘﺮب ﺑﺪوره ﻣﻦ ﺳﻄﺢ ﻣﻨﺤﻦ أي ﻣﻦ اﻟﺴﻄﺢ
اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪوران
ﻣﻤﺎ ﺳﺒﻖ ﯾﻤﻜﻦ أن ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن ﺣﺠﻢ ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران ﻮھ
H × B ×
3
1
= V
ﺣﯿﺚ ﯾﺮﺰﻣ B إﻟﻰ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺮص ) ﻗﺎﻋﺪة ( اﻟﻤﺨﺮوط و h إﻟﻰ إرﺗﻔﺎع ھﺬا اﻟﻤﺨﺮوط
ﺗﺠﺮﺑﺔ : ﯾﺴﺘﻨﺘﺞ ﻣﻦ ﺧﻼﻟﮭﺎ ﻗﺎﻋﺪة ﻟﺤﺴﺎب ﺣﺠﻢ ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران
اﻟﻨﺸﺎط ﯾﺘﻄﻠﺐ ورق ﻣﻘﻮى و ﻣﺴﺤﻮق ﻣﻠﺢ أو ﺳﻜﺮ أورﻣﻞ
1 ـ أﺻﻨﻊ أﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﺪوران و ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران ﻗﺎﻋﺪﺗﮭﻤﺎ ﻗﺮﺻﺎن ﻧﺼﻔﻲ ﻗﻄﺮﯾﮭﻤﺎ 3cm و ارﺗﻔﺎﻋﮭﻤﺎ 10cm ) ﯾﻠﻔﺖ إ ﻧﺘﺒﺎه
اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ إﻟﻰ ﻗﺎﺑﻠﯿﺔ ﺗﻄﺎﺑﻖ ﻗﺎﻋﺪﺗﻲ اﻟﻤﺠﺴﻤﯿﻦ و ﺗﺴﺎوي إرﺗﻔﺎﻋﯿﮭﺎﻤ
2 ـ إﻣﻸ ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران ﺑﺎﻟﻤﺴﺤﻮق ﺣﺘﻰ اﻟﺤﺎﻓﺔ ﻟﻜﻦ دون ﺗﻜﺪﯾﺲ ﺛﻢ أﺳﻜﺐ ﻣﺤﺘﻮاه ﻓﻲ اﻷﺳﻄﻮاﺔﻧ
ﻛﺮر اﻟﻌﻤﻠﯿﺔ ﻋﺪد ﻣﻦ اﻟﻤﺮات اﻟﻼزﻣﺔ ﺣﺘﻰ ﺗﻤﺘﻠﺊ اﻷﺳﻄﻮاﺔﻧ
ـ ﻣﺎھﻮ ﻋﺪد اﻟﻤﺮات اﻟﺘﻲ ﻣﻸت ﻓﯿﮭﺎ اﻟﻤﺨﺮوط ﻟﻜﻲ ﺗﻤﺘﻸ ا ﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ ؟
ـ أﺣﺴﺐ ﺣﺠﻢ اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ ﺑﺄﺧﺬ ﻣﺤﺘﻮى اﻟﻤﺨﺮوط ﻛﻮﺣﺪة ﻟﻠﻘﯿﺎس ﺛﻢ ـﺑ
3
cm ؟
ـ إﺳﺘﻨﺘﺞ ﺣﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط ﺑﺪﻻﻟﺔ ﺣﺠﻢ اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ ـﺑ
3
cm ؟
أﻧﻘﻞ اﻟﻨﺺ ﺛﻢ أﺗﻤﻤﮫ
إذا ﻛﺎن ﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﺪوران و اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪوران ………..
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
21
ﻗﺎﺑﻠﺘﺎن ﻟﻠﻤﻄﺎﺑﻘﺔ و ﺎﻛ ن ﻟﮭﻤﺎ ﻧﻔﺲ ………. ﻓﺈن :
ﺣﺠﻢ ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران ﯾﺴﺎوي …….. ﺣﺠﻢ أﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﺪوران .
ﺑﻌﺪ ھﺬا ﯾﺴﺘﻨﺘﺞ اﻟﻘﺎﻋﺪة :
إذا ﻛﺎﺖﻧ B ھﻲ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ وﻛنﺎ h اﻹرﺗﻔﺎع اﻟﻤﺸﺘﺮك ﻟﮭﺬﯾﻦ اﻟﻤﺠﺴﻤﯿﻦ ﻓﺈن : h × B × ……. = ….
ﻣﻨﺎﻗﺔﺸ ) 1 ( و ) 2 ( ) و 3 ( ) و 4 ( ﻣﻦ إﺧﺘﺒﺮ ﻣﻜﺘﺴﺒﺎﻚﺗ
) 1 ( إﻧﺸﺎء ﻣﺘﻮايز اﻷﺿﻼع ABCD
إﺧﺮاج اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎت اﻟﻤﺘﻮازﯾﺔ و اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﺘﻘﺎﯾﺴﺔ ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ
) 2 ( ﯾﻮﺪﺟ 7 ﻣﺘﻮازﯾﺎت أﺿعﻼ
) 3 ( ﯾﻮﺟﺪ أرﺑﻊ ﻣﺘﻮازﯾﺎت أﺿﻼع رؤوﺳﮭﺎ اﻟﻨﻘﻂ
D , C , B , A
) 4 ( ﻧﻘﻞ اﻟﺸﻜﻞ و إﻧﺸﺎء ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع ABFG
و AKBG
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 172
) اﻟﻌﻤﻞ ﯾﻜﻮن ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﻣﺮﺻﻮﻓﺔ و ﺗﺤﻀﺮ ﻓﻲ اﻟﺒﯿﺖ (
ـ اﻟﻤﻄﻠﻮب ﻣﻦ اﻟﺘﻼﻣﯿﺬ أن ﯾﺸﺮﺣاﻮ ﻟﺰﻣﻼﺋﮭﻢ ﻛﯿﻒ أﻧﺠﺰوا اﻟﻌﻤﻞ
* إن إﺳﺘﻌﻤﺎل ﻣﺮﺑﻌﺎت اﻟﻤﺮﺻﻮﻓﺔ ﯾﺴﺎﻋﺪ ﻋﻠﻰ إﻧﺠﺎز اﻟﻌﻤﻞ وﯾﻜﻮن ذﻟﻚ ﺑﺈﻋﺘﺒﺎر ﻗﻄﻊ اﻟﺸﻜﻞ ﻛﺄﺿﻼع أو أﻗﻄﺎر ﻟﻤﺘﻮازﯾﺎت
أﺿﻼع ﯾﺠﺪدھﺎ اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ و إﻋﺘﺒﺎر ﻃﻮل اﻟﻤﺮﺑﻊ اﻟﺼﻐﯿﺮ اﻟﺬي ﺗﺘﺸﻜﻞ ﻣﻨﮫ اﻟﻤﺮﺻﻮﻓﺔ ﻛﻮﺣﺪة ﻟﻸﻃﻮلا .
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 172
اﻟﻌﻤﻞ ﯾﻜﻮن ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﺮﻣ ﺻﻮﺔﻓ
ـ رﺳﻢ اﻟﺸﻜﻞ ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﻣﺮﺻﻮﻓﺔ ﺣﯿﺚ ﺗﻮﺿﻊ اﻟﻨﻘﻂ C , B , A وﻛﻞ اﻟﻨﻘﻂ اﻷﺧﺮى ﻋﻠﻰ رؤوس ﻣﺮﺑﻌﺎت اﻟﻤﺮﺻﻮﺔﻓ
1 ( اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ABB’A’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ وﻣﻨﮫ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ AA’B’B ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ـ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ BCC’B’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ وﻣﻨﮫ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ AA’C’C ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ـ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ CDD’C’ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼ ع وﻣﻨﮫ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ
AA’D’D ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ـ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ DEE’D’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ وﻣﻨﮫ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
3
AA’E’E ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
2 ( اﻟﻨﻘﺔﻄ B ﻟﯿﺴﺖ ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﺔﻄ B’ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ A’
ـ اﻟﻨﻘﺔﻄ C ﻟﯿﺴﺖ ﺻﻮةر B ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﺬﻛﻮر ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ CBA’A ﻟﯿﺲ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
) اﻟﻘﻄﺔﻌ ] CB [ ﻻﺗﻮايز اﻟﻘﻄﺔﻌ ] AA’ ( [
Jـ ﻟﯿﺴﺖ ﺻﻮةر I ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﺬﻛﻮر ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ JIA’A ﻟﯿﺲ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ ) اﻟﻘﻄﺔﻌ ] CB [ ﻻ ﺗﻘﺎﯾﺲ اﻟﻘﻄﺔﻌ ] AA’ [
3 ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ A’ ، B’ ھﻲ ﺻﻮةر B و C’ ھﻲ ﺻﻮةر C و D’ ﻲھ ﺻﻮةر D
4 ( B’ ھﻲ ﺻﻮةر B ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ A’ ﻓﺈن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ABB’A’ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع وﻋﻠﯿﮫ
) AB ) // ( A’B’ (
BC = B’C’ ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ BCC’B’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
5 ( ) AE // ( (A’E’) و ) BE ( ) // B’E’ (
BD = B’D’ و AC = A’C’
C B A ˆ = ‘ ‘
ˆ
‘ C B A و C D E ˆ = ‘ ‘
ˆ
‘ C D E
ﺣﻞ ﻧﺸطﺎ ) 5 ( ﻦﻣ إﺧﺘﺒﺮ ﻣﻜﺘﺴﺒﺎﻚﺗ
1 ( AB +BC < AC ، AB + AC < BC
BI + CI = BC
2 ( إذا ﻛﺎن AD +DB = AB ﯾﻜﻮن ﻣﻮﻊﻗ D ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻄﺔﻌ ] AB [
ﻧﺸطﺎ ) 3 ( ص 173
ھﺬا اﻟﻨﺸﺎط ﯾﻜﻮن ﻣﺤﻀﺮ ﻓﻲ اﻟﺒﯿﺖ ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﻣﻠﯿﻤﺘﺮﺔﯾ
ـ اﻟﻤﻄﻠﻮب ﻣﻦ اﻟﺘﻼﻣﯿﺬ ﺷﺮح ﻛﯿﻔﯿﺔ ﻋﻤﻠﯿﺔ اﻟﺘﺒﻠﯿﻂ اﻟﺘﻲ ﺗﻤﺖ ﻋﻠﻰ اﻟﻮرﻗﺔ اﻟﻤﻠﯿﻤﺘﺮﺔﯾ
ـ اﻟﺒﻼﺔﻃ 2 ھﻲ ﺻﻮرة اﻟﺒﻼﺔﻃ 1 ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ A إﻟﻰ B
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
4
ـ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ C إﻟﻰ D اﻟﺒﻼﺔﻃ 4 ھﻲ ﺻﻮرة اﻟﺒﻼﺔﻃ 3
ﻧﺸطﺎ ) 4 ( ص 173
1 ( ﻧﻘﻞ اﻟﻘﻄﺔﻌ ] AB [ واﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ C و D ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﺑﯿﻀﺎء
2 ( M ﻧﻘﻄﺔ ﻛﯿﻔﯿﺔ ﻦﻣ ] AB [
ـ إﻧﺸﺎء اﻟﻨﻘﻂ A’ و B’ و M’ ﻮﺻّر A و B و M ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ D إﻟﻰ C
ـ ﺻﻮرة اﻟﻘﻄﺔﻌ ] AB [ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ D إﻟﻰ C ھﻲ اﻟﻘﻄﺔﻌ ] A’B’ [
ﻧﺸطﺎ ) 5 ( ص 173
1 ( ﻧﻘﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) d ( و اﻟﻨﻘﻄﺘﻦﯿ A و B ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﺑﯿﻀﺎء
2 ( M ، N ﻧﻘﻄﺘﺎن ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﺎن ﻦﻣ ) d (
3 ( ﻧﺸﺎء اﻟﻨﻘﻄﺘﻦﯿ M’ و N’ ﺻﻮرﺗﻲ M و N ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ A إﻟﻰ B
ﺛﻢ رﺳﻢ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) M’N’ (
ـ ﻃﺒﯿﻌﺔ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ MNN’M’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﻦﯿ ) d ( و ) M’N’ ( ﻣﺘﻮازﯾنﺎ
ـ ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) d ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ A إﻟﻰ B ھﻮ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) M’N’ (
ﻣﻨﺎﻗﺸﺔ ﺗﻤﺮﯾﻦ 11 ص 182
ـ ﺻﻮةر ) AB ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤﻮّل E إﻟﻰ F ﻮھ ) HF (
ـ ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﺚﻠ HAE ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ O ھﻮ اﻟﻤﺜﺚﻠ GOF
ﻧﺸطﺎ ) 6 ( ص 174
1 ( ﻧﻘﻞ ﻧﺼﻒ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) OX [ واﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ A و B ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﺑﯿﻀﺎء
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
5
ـ أﺧﺬ ﻧﻘﺔﻄ M ﻦﻣ ) OX [
ـ إﻧﺸﺎء O’ و M’ ﺻﻮرﺗﻲ O و M ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ B
ـ ﺻﻮةر ) OX [ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤلﻮ A إﻟﻰ B ھﻮ ﻧﺼﻒ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) O’M’ [ اﻟﺬي ﯾﻮازﯾﮫ وﻟﮫ ﻣﻌﮫ ﻧﻔﺲ اﻹﺗﺠهﺎ
ﻧﺸطﺎ ) 7 ( ص 174
ﻧﻘﻞ اﻟﺸﻜﻞ ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﺑﯿﻀﺎء
ـ M ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﺪاﺋﺮة ) C (
ـ إﻧﺸﺎء O’ و M’ ﺻﻮرﺗﻲ O و M ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ B
ـ ﻃﺒﯿﻌﺔ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ OMM’O’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ـ اﻟﻄﻮل O’M’ ھﻮ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة ) C’ ( اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰﺎھ O’
ـ ﻣﻮﻗﻊ اﻟﻨﻘﺔﻄ M’ ھﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﺪاﺋﺮة ) C’ (
ـ ﺻﻮرة اﻟﺪاﺋﺮة ) C ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ B ھﻮ اﻟﺪاﺋﺮة ) C’ (
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 177
ﯾﻜﻮن ھﺬا اﻟﻨﺸﺎط ﻣﺤﻀﺮ ﻓﻲ اﻟﺒﯿﺖ ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﻣﺮﺻﻮﻓﺔ ﻣﻊ ﺿﺮورة إﺣﻀﺎر ورﻗﺔ ﺷﻔﺎﻓﺔ ﻣﺮﺳﻮم ﻋﻠﯿﮭﺎ اﻟﺴﯿﺎرة
ـ ﻣ ﻼﺣﺔﻈ : اﻟﺴﯿﺎرة ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺘﻄﺎﺑﻖ ﻣﻊ ﺻﻮرﺗﺎﮭ
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 177
1 ( رﺳﻢ اﻟﺸﻜﻞ ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﺑﯿﻀﺎء أو ﻋﻠﻰ ﻛﺮاس اﻷﻧﺸﺔﻄ
2 ( إﻧﺸﺎء B’ و C’ ﺻﻮرﺗﻲ B و C ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ I
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
6
ـ ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ I ھﻮ اﻟﻤﺜﺚﻠ IB’ C’
ـ ﻃﺒﯿﻌﺔ اﻟﻤﺜﺚﻠ IB’C’ ھﻮ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻘﺎﯾﺲ اﻷﻼﺿ ع و ھﻮ ﯾﻘﺎﯾﺲ اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC إذن ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺎﺣﺘﯿﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﺎن
3 ( ﻣﻮﻊﻗ I’ ﺻﻮةر I ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب ھﻮ ﻣﻨﺘﺼﻒ ] C’B’ [ نﻷ I ﻣﻨﺘﺼﻒ ] CB [ وﺻﻮرة ] CB [ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
ﻮھ ] C’B’ [
ـ إﻧﺸﺎء J’ و K’ ﺻﻮرﺗﻲ J و K ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﻌﻰﻄ
4 ( ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘ ﻘﯿﻢ ) JK ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﻌﻄﻰ ﻮھ ) J’K’ ( ﻷن ﻟﺪﯾﻨﺎ ﺻﻮةر ] AB [ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب ﻮھ ] IB’ [ و J
ﻣﻨﺘﺼﻒ ] AB [
وﻟﺪﯾﻨﺎ أﯾﺎﻀ J’ ﺻﻮةر J ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب ھﺬا ﯾﻌﻨﻲ نأ J’ ﻣﻨﺘﺼﻒ ] IB’ [
وﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ ﻧﺒﺮھﻦ نأ K’ ﻣﻨﺘﺼﻒ ] IC’ [
إذن ﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻨﺘﺼﻔﯿﻦ ﻓﺈن ) J’K’ )//( B’C’ (
5 ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ I :
ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC ھﻲ اﻟﻤﺜﺚﻠ IB’C’ ، ﺻﻮرة ﻛﻞ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﻮاﺳﻄﺔ إﻧﺴﺤﺎب ﻲھ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻢﯿ ﺗﻘﺎﯾﺴﮭﺎ ، إذن اﻟﻤﺜﻠﺜنﺎ
ABC و IB’C’ ھﻤﺎ ﻣﺜﻠﺜنﺎ ﻣﺘﻘﺎﯾﺴنﺎ و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻟﮭﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ
اﻟﻨﻘﺔﻄ I’ ﻲھ ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻀﻠﻊ ] B’C’ [ ﻷﻧﮭﺎ ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﺔﻄ I ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻟا ﻀﻠﻊ ] BC [
اﻟﻨﻘﻄﺘﻦﯿ J’ ، K’ ھﻤﺎ ﻣﻨﺘﺼﺎﻔ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ ] IB’ [ ] و IC’ [ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﻷﻧﮭﻤﺎ ﺻﻮرﺗﺎ اﻟﻨﻘﻄﺘﻦﯿ J و K ﻣﻨﺘﺼﻔﺎ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ ] AB [ و
] AC [ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ
ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) JK ( ﻲھ ) J’K’ ( ﻷن ﺻﻮرة ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﺈﻧﺴﺤﺎب ﻲھ ﻣﺴﺘﻘﻢﯿ وھﺬان اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤنﺎ ﻣﺘﻮازﯾنﺎ
اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) J’K’ ( و ) B’C’ ( ﻣﺘﻮاز ﯾﺎن نﻷ :
) B’C’ ( // ) BC ( نﻷ ) B’C’ ( ھﻮ ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) BC ( ﺑﺈﻧﺴﺤﺎب
و ) JK ( // ) BC ( نﻷ ) JK ( ھﻮ ﻣﺴﺘﻘﻢﯿ اﻟﻤﻨﺘﺼﻔﯿﻦ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC
إذن ) JK ( ) // B’C’ ( وﻋﻠﻤﺎ نأ ) J’K’ ( // ) JK (
ﻓﺈن ) J’K’ ( ﯾﻮازي ) B’C’ (
ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ 12 ص 183
ﺻﻮرﺗﻲ M و A ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل T إﻟﻰ A
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
7
1 ( ﺻﻮةر M ﻲھ P ) نﻷ M ھﻲ ﻣﻨﺘﺼﻒ ] TP [ إذن ) TM ) // ( MP ( و MP = TM (
ـ ﺻﻮةر A ﻲھ R ) ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ TMRA ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ (
2 ( ﺻﻮةر ] AM [ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل T إﻟﻰ A ﻲھ ] SR [ ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ASRM ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع وھﺬا نﻷ A ﻣﻨﺘﺼﻒ
] TS [
إذن ) TA )// ( AS ( و AS = TA
وﺻﻮرة M ﻲھ R ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
إذن ) MR ) // ( AS ( و AS = MR
ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ 14 ص 183
ﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻨﺘﺼﻔﯿﻦ ﻓﺈن ) MN )//( BC ( و BC
2
1
= MN
إذن ﺻﻮةر B ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل M إﻟﻰ N ﻲھ H ﻣﻨﺘﺼﻒ ] BC [ ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ MNHB ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ 15 ص 183
1 ( اﻷﻧﺸﺎء و إﻧﺠﺎز اﻟﺸﻜﻞ
2 ( ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
I ھﻲ ﺻﻮةر A ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
B’ ھﻲ ﺻﻮةر B ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
C’ ھﻲ ﺻﻮةر C ﺑﻮاﺳﻄﺔ ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
إذن ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب ھﻮ اﻟﻤﺜﺚﻠ IB’C’
3 ( اﻟﺒﺮھﺎن ﻋﻠﻰ نأ D ﻣﻨﺘﺼﻒ ] B’C’ [
ﻟﺪﯾﻨﺎ ] C’B’ [ ﻲھ ﺻﻮةر ] BC [ ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
وﻟﺪﯾﺎﻨ I ﻣﻨﺘﺼﻒ ] BC [ و نأ D ھﻲ ﺻﻮةر I ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب إذن ﻓﺈن ﺣﺴﺐ ﺧﻮاص اﻹﻧﺴﺤﺎب ﻓﺈن
D ﻣﻨﺘﺼﻒ ] B’C’ [
4 ( ﻃﺒﯿﻌﺔ اﻟﻤﺜﺚﻠ B’IC’
ﻟﺪﯾﻨﺎ اﻟﻨﻘﻂ D , I , A ﻋﻠﻰ إﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
8
و ) CB ) // ( C’B’ ( و ) AI ( ﻣﺤرﻮ ] BC [ ﻓﮭﻮ ﻣﺤرﻮ ] C’B’ [ وھﺬا ﯾﻌﻨﻲ نأ IC’ = IB’ ﻓﺎﻟﻤﺜﻠﺚ B’IC’ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ رأﮫﺳ I
ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ 16 ص 183
1 ( اﻟﺸﻜﻞ
2 ( B’ ﺻﻮةر B ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤﻮّل A إﻟﻰ C
إذن ACB’B ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
C’ ﺻﻮةر C ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ C
إذن ) CC’ ) // ( AC ( و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ اﻟﻨﻘﻂ C’ ,C , A
ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة و ﺑﻤﺎ نأ AC = CC’
ﻓﺈن C ھﻲ ﻣﻨﺘﺼﻒ ] AC’ [
3 ( ﻧﺒﺮھﻦ أن اﻟﻤﺜﺚﻠ B’C’C ﻗﺎﺋﻢ ﻲﻓ C
ﺑﻤﺎ أن اﻟﻤﺜﺚﻠ ABC ﻗﺎﺋﻢ ﻲﻓ B
وﻟﺪﯾﻨﺎ ﺻﻮةر A ﺑﮭﺬا اﻻﻧﺴﺤﺎب ﻲھ C وﺻﻮرة C ﻲھ C’ وﺻﻮرة B ﻲھ B’ ﻓﺎﻟﻤﺜﻠﺚ B’C’C ﻗﺎﺋﻢ ﻲﻓ B’ ) ﺣﺴﺐ ﺧﻮصا
اﻹﻧﺴﺤﺎب ( ﯾﺤﻔﻆ اﻟﺰواﯾﺎ
وﺑﺘﻄﺒﯿﻖ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس ﻓﺈن
2
‘ ‘C B +
2
‘C B =
2
‘ CC
2
‘ ‘C B + 16 = 36
16 – 36 =
2
‘ ‘C B
20 =
2
‘ ‘C B
4.4 = 20 = B’C’
ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ 17 ص 183
1 ( ﺗﺤﺪﯾﺪ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة ) C’ ( ﺻﻮةر ) C ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤﻮّل O إﻟﻰ A
ـ ﻧﻌﻠﻢ أن ﺻﻮرة داﺋﺮة ﻣﺮﻛﺰﺎھ O ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب ھﻲ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ھﻲ ﺻﻮةر O ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﺬﻛﻮر ﺣﯿﺚ ﺑﻌﺪ ﻣﺮﻛﺰﺎھ
ﻦﻋ O ھﻲ ﻧﻔﺴﮭﺎ OA
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
9
إذن اﻟﺪاﺋﺮة ) C’ ( ﻣﺮﻛﺰھﺎ ﻮھ A
2 ( إﺛﺒﺎت أن اﻟﻨﻘﺔﻄ O ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ) C’ (
اﻟﻨﻘﺔﻄ A ﻣﺮﺰﻛ ) C’ ( إذن OA ھﻮ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰﺎھ A ھﺬا ﯾﻌﻨﻲ نأ
O ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ) C’ (
ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ 18 ص 184
ﻟﺪﯾﻨﺎ O’ ھﻲ ﺻﻮةر O و B ﺻﻮةر A ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل O إﻟﻰ O’ ﻓﺎﻟﺮﺑﺎﻲﻋ OO’BA ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ﻓﯿﮫ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ
] O’A [ و ] O’B [ ﻣﺘﻘﺎﺑﻼن
إذن ﻓﮭﻤﺎ ﻣﺘﻘﺎﯾﺴﺎن يأ OA = O’B
ﺑﻤﺎ نأ A ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﺪاﺋﺮة ) C ( و اﻟﺪاﺋﺮة ) C’ ( ھﻲ ﺻﻮةر ) C ( ﺑ َﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب ﻓﺈن ﺻﻮةر A يأ B ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ) C’ (
ﺣﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ 19 ص 184
1 ( رﺳﻢ اﻟﺸﻜﻞ ﺑﻜﻞ ﻋﻨﺎﯾﺔ ودﺔﻗ ) ﺑﺈﺳﺘﻌﻤﺎل اﻷﻟﻮنا (
2 ( ﺣﺴﺎب اﻟﻘﯿﺲ B A I ˆ
اﻟﻤﺜﺚﻠ ABI ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ إذن G A I ˆ = B A I ˆ
ﻷﻧﮭﻤﺎ زاوﯾﺘﻲ اﻟﻘﺎﻋﺪة
) AB ( ^ ) IG ( إذن اﻟﻤﺜﺚﻠ IAG ﻗﺎﺋﻢ ﻲﻓ G
وﻣﻦ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ IG = 3 cm
و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ 0.8 = ى
5
4
=
AI
AG
= G A I ˆ cos = B A I ˆ cos
ﺑﺈﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ 36.86° » G A I ˆ
ـ إﺳﺘﻨﺘﺎج أن اﻟﺰاوﯾﺔ B I A ˆ ﻣﻨﻔﺮﺔﺟ
اﻟﻤﺜﺚﻠ AIB ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ ) ﻓﺮﺎﺿ (
ﻣﻦ اﻟﺤﺴﺎب اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﺪﯾﻨﺎ
) 73°.72 = 36°:86 × 2 = ( G A I ˆ + B A I ˆ
أي أن ﻣﺠﻤﻮع زاوﯾﺘﻲ اﻟﻘﺎﻋﺪة أﺻﻐﺮ ﻣﻦ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ إذن زاوﯾﺔ اﻟﺮأس B I A ˆ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﻓﮭﻲ ﻣﻨﻔﺮﺔﺟ
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
10
3 ( ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻮﺻ ّر اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤتﺎ ) AH ( و ) BH ( ) و IH ( ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ D
ﻣﻦ اﻟﻤﻌﻠﻮم أﻧﮫ ﻟﺘﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮرة ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﺈﻧﺴﺤﺎب ﻣﺎ ﯾﻜﻔﻲ ﺗﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮةر ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ﻣﻦ ھﺬا اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﻟﺬا ﯾﻜﻔﻲ أن ﻧﻌﯿﯿﻦ ﻣﻦ ﻞﻛ
ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ وﺗﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮرﺗﯿﮭﻤﺎ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﺬﻛﻮر أو ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻧﻘﻄﺔ و ﻣﻨﺤﻰ ﺛﻢ ﺗﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻷن ﻣﻨﺤﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ
ﻣﻌﻠﻮم ، وأن اﻹﻧﺴﺤﺎب ﯾﺤﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮازي و ﯾﺤﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ اﻟﺰواﯾﺎ و ﯾﺤﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻌﺎﻣﺪ
ـ ﻧﻼﺣﻆ أن اﻟﻨﻘﺔﻄ H ھﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻼﻗﻲ إرﺗﻔﺎﻋﺎت اﻟﻤﺜﺚﻠ AIB
ﺗﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) AH (
) HA ( ھﻮ ﺣﺎﻣﻞ اﻹرﺗﻔﺎع اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻀﻊﻠ ] AI [
إذن ) HA ( ^ ) BI (
ـ اﻟﻨﻘﺔﻄ D ھﻲ ﺻﻮةر A ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤﻮّل A إﻟﻰ D
ـ A ﻧﻘﺔﻄ ) HA ( و ) HA ( ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ) BI (
إذن ﺻﻮةر ) HA ( ھﻮ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬي ﯾﺸﻞﻤ D و ﯾﻮازي ) HA ( يأ ) DF (
ﺗﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) HB (
ﺑﻄﺮﯾﻘﺔﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﻧﺒﺮھﻦ أن ﺻﻮةر ) HB ( ﺑﻨﻔﺲ اﻹﻧﺴﺤﺎب ﻮھ ) EC ( ﻋﻠﻤﺎ ً أن ﺻﻮةر B ﻲھ C (
ﺗﺤﺪﯾﺪ ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ ) IH (
إن ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﺔﻄ I ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﻌﻄﻰ ھﻲ اﻟﻨﻘﺔﻄ G ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ IADG ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
) ﯾﻤﻜ ﻦ ﺑﺈﺳﺘﻌﻤﺎل ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس إﺛﺒﺎت نا ] AD [ ] و IG [ ﻣﺘﻘﺎﯾﺴﺘﺎن وھﻤﺎ أﯾﻀﺎ ً ﻣﺘﻮازﯾﺎن ﻷﻧﮭﻤﺎ ﻋﻤﻮدﯾﺎن ﻋﻠﻰ ) AB (
ـ اﻟﻨﻘﻂ H , G , I ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ إﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة ﻓﺈن ﺻﻮةر ) IH ( ﻲھ ) IG ( ﻷن اﻹﻧﺴﺤﺎب ﯾﺤﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ إﺳﺘﻘﺎﻣﯿﺔ اﻟﻨﻘﻂ
إذن ﺻﻮةر ) IH ( ﻲھ ) IH (
4 ( إﺳﺘﻨﺘﺎج نأ ) CE ( ) و DF ( ) و IG ( ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺔ
اﻟﻨﻘﺔﻄ H ھﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻼﻗﻲ اﻹرﺗﻔﺎﻋﺎت اﻟﺜﻼﺛﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺚﻠ AIB اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤتﺎ ) CE ( و ) DF ( و ) IG ( ھﻲ ﺻﻮر إرﺗﻔﺎﻋﺎت ھﺬا
اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤبﺎ
إذن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤتﺎ ) CE ( و ) DF ( و ) IG ( ﺗﺘﻼﻗﻰ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻨﻘﻄﺔ وھﻲ ﺻﻮةر H ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
11
ﺣﻞ ﻣﺴﺄﻟﺔ 20 ص 184
1 ( اﻟﻨﻘﺔﻄ N’ ھﻲ ﺻﻮةر N ﺎﺑ ﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ M ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ AMN’N ﻣﺘﻮازي اﺿعﻼ
2 ( اﻟﻨﻘﺔﻄ P ‘ ھﻲ ﻧﻈﯿﺮة M ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ A وﯾﻤﻜﻦ أن ﻧﻘﻮل نأ A ھﻲ ﺻﻮةر P ﺑﻨﻔﺲ اﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺴﺎﻖﺑ ) ﻻﺣﻆ أن اﻟﻨﻘﻂ P
و A و M ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ إﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة (
ـ A’ ﻧﻈﯿﺮة N ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ A إذن AA’ = NA
و ) NA ) // ( AA’ (
3 ( أﻧﺸﺎء اﻟﻨﻘﺔﻄ P’ اﻟﺘﻲ ﺻﻮرﺗﺎﮭ A’ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A إﻟﻰ M
إذن اﻟﻨﻘﺔﻄ A’ ھﻲ ﺻﻮةر P’ ﺑﺎﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﻤﺬﻛﻮر وﻣﻨﮫ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ P’A’MA ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
4 ( ﻟﺪﯾﻨﺎ A ﺻﻮةر P وأن A’ ﺻﻮةر P’ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﻧﻔﺲ اﻹﻧﺴﺤﺎب إذن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ AA’P’P ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
5 ( اﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤﻮّل A’ إﻟﻰ M ، ﯾﺤﻮ لّ P’ إﻟﻰ A ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ A’MAP’ ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ﺣﺴﺐ اﻟﺒﺮھﺎن اﻟﺜﺎﺚﻟ
ھﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب ﯾﺤ ﻮّل أﯾﺎﻀ A إﻟﻰ N’ وﯾ ﻮﺤّل P إﻟﻰ N ﻷن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ PAN’N ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ﻧﺮﺗﺐ ھﺬه اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﻛﺎﻵﺗﻲ :
اﻹﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﯾﺤ ﻮّل A’ إﻟﻰ M ﯾﺤ ﻮّل أﯾﺎﻀ
M A’
A P’
N P
N’ A
إذن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ MANN’ ھﻮ ﺻﻮرة اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ A’P’PA ﺑﮭﺬا اﻹﻧﺴﺤﺎب
ـ ﺑﻤﺎ أن اﻹﻧﺴﺤﺎب ﯾﺤﻔﻆ اﻷﺷﻜﺎل و ﺑﻤﺎ نأ MANN’ ھﻮ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ﻓﺈن A’P’PA أﯾﺎﻀ " ﻣﺘﻮازي أﺿعﻼ
ـ ﻋﻠﻤﺎ أن اﻹﻧﺴﺤﺎب ﯾﺤﻔﻆ اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت ﻓﺈن اﻟﺮﺑﺎﻋﯿﺎن ﻟﮭﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
12
ﺣﻞ ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 185 ﻣﻦ إﺧﺘﺒﺮ ﻣﻜﺘﺴﺒﺎﻚﺗ
1 ( اﻟﺘﻤﻌﻦ ﻲﻓ اﻟﻤﺠﺴﻤتﺎ
2 (
اﻟﻤﺠﻢﺴ إﺳﮫﻤ ﻋﺪد
اﻷوﺟﮫ
اﻟﺠﺎﻧﺒﺔﯿ
ﻋﺪد
ﻗﻮاﻋهﺪ
ﻋﺪد
اﻷﺣﺮف
اﻟﺠﺎﻧﺒﺔﯿ
ﻋﺪد
اﻷﺣﺮف
اﻟﻜﻠﺔﯿ
ﻋﺪد
رؤوﺳﮫ
) 1 (
وايز
ﻣﺴﺘﻄﯿﻼت
6 2 4 12 8
) 2 (
أﺳﻄﻮاﻧﺔ
دوران
2 2 0 0 0
) 3 (
ﻣﻮﺷﻮر
ﻗﺎﻢﺋ
7 2 5 15 10
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 186
1 ( ﻧﻌﻢ
اﻟﺼﻮرة ھﻲ أھﺮاﻣﺎت اﻟﺠﯿﺰة ﺑﻤﺮﺼ
2 ( اﻷﺷﯿءﺎ اﻟﻮاردة ﻓﻲ اﻟﻮﺼ ّر ھﻲ ﻣﺠﺴﻤﺎت ﻣﺮﻛﺒﺔ
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 186
1 ( وﺻﻒ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﮭﺮم و اﻟﻤﻮﺷﻮر اﻟﻘﺎﻢﺋ
ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﺘﺸﺎﺑﮫ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﻲھ : اﻟﻘﻮاﻋﺪ و اﻷوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺴﻤﯿﻦ ھﻲ ﻣﻀﻠﻌتﺎ
ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻹﺧﺘفﻼ
اﻟﮭﺮم اﻟﻤﻮﺷﻮر اﻟﻘﺎﻢﺋ
ـ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ واﺣﺪة ) وھﻲ ﻣﻀﻊﻠ ( ـ ﻗﺎﻋﺘنﺎ ) وھﻤﺎ ﻣﻀﻠﻌﺎ ن (
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
13
ـ أوﺟﮭﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻣﺜﻠﺜﺎت ـ أوﺟﮭﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻣﺴﺘﻄﯿﻼت
ـﺎﻷوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﺗﺸﺘﺮك ـ أوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻋﻤﻮدﯾﺔ ﻋﻠﻰ
ﻓﻲ رأس واﺣﺪ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ
2 ( s ﻗ ،ﻤﺔ اﻟﮭﺮم SC و SB أﺣﺮف اﻟﮭﺮم ، اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ABCD ﻗ ،ﺎﻋﺪة اﻟﮭﺮم A و D رؤوس اﻟﮭﺮم ، اﻟﻤﺜﺚﻠ SAB وﺟﮫ
ﺟﺎﻧﺒﻲ
اﻟﺸﻜﻞ اﻟﮭﻨﺪﺳﻲ ﻟﻘﺎﻋﺪة ھﺬا اﻟﮭﺮم ھﻮ ﻣﻀﻊﻠ
ـ اﻷﺷﻜﺎل اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ اﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ﻟﻠﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﮭﺬا اﻟﻤﺠﺴﻢ ھﻲ ﻣﺜﻠﺜتﺎ
ﻧﺸطﺎ ) 3 ( ص 186
1 ( أھﺮاﻣﺎت ارﺗﻔﺎﻋﮭﺎ ﯾﺸﻤﻞ اﻟﮭﺮم و ﻣﺮﻛﺰ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻣﺜﻞ اﻟﮭﺮم ) 1 (
ـ أھﺮاﻣﺎت ارﺗﻔﺎﻋﮭﺎ ﯾﺸﻤﻞ رأس اﻟﮭﺮم وﻻ ﯾﺸﻤﻞ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻣﺜﻞ اﻟﮭﺮم ) 2 (
2 ( أھﺮاﻣﺎت ﻗﺎﻋﺪﺗﮭﺎ ﻣﻀﻠﻊ ﻣﻨﺘﻈﻢ ) ﻗﺎﻋﺪة اﻟﮭﺮم ) 1 ( ﻣﺮﻊﺑ (
أھﺮاﻣﺎت ﻗﺎﻋﺘﮭﺎ ﻟﯿﺴﺖ ﻣﻀﻠﻊ ﻣﻨﺘﻈﻢ ) ﻗﺎﻋﺪة اﻟﮭﺮم ) 3 ( ﻣﺴﺘﻄﻞﯿ (
ﯾﺘﻢ اﻟﺘﻤﯿﯿﺰ ﻓﻲ ھﺬا اﻟﺴﺆال أﯾﻀﺎ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت اﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ﻟﻸوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﻟﮭﺮﻣﯿﻦ .
ﻓﻲ اﻟﮭﺮم ) 1 ( ﻛﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ﻣﻘﺎﯾﺔﺴ
ﻓﻲ اﻟﮭﺮم ) 2 ( اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ﻛﻠﮭﺎ ﻣﻘﺎﯾﺔﺴ
3 ( ﻓﻲ ھﺬا اﻟﺴﺆال ﻗﺒﻞ إﺗﻤﺎم اﻟﻨﺺ ﯾﻄﻠﺐ ﺗﻌﻠﯿﻞ ﺗﻘﺎﯾﺲ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت اﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ﻟﻸوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻠﮭﺮم ) 1 ( اﻟﺬي ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻣﺮﺑﻊ و ﻋﺪم
ﺗﻘﺎﯾﺲ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت اﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ﻟﻸوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻠﮭﺮم ) 2 ( اﻟﺬي ﻗﺎﻋﺪﻧﮫ ﻣ ﺴﺘﻄﯿﻞ
ﯾﻤﻜﻦ ذﻟﻚ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ
* ﻗﺎﻋﺪة اﻟﮭﺮم ) 1 ( ﻣﻀﻠﻊ ﻣﻨﺘﻈﻢ ) ﻣﺮﻊﺑ ( و إرﺗﻔﺎﻋﮫ ﯾﺸﻤﻞ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻧﻘﻮل أﻧﮫ ھﺮم ﻣﻨﺘﻈﻢ
* أوﺟﮭﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻣﺜﻠﺜﺎت ﻣﺘﻘﺎﯾﺴﺔ و ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ
4 ( إن اﻟﮭﺮﻣﯿﻦ ) b ( و ) c ( ﻣﻨﺘﻈﻤﯿﻦ
) b ( ﻗﺎﻋﺘﮫ ﻣﺮﺑﻊ و إرﺗﻔﺎﻋﮫ ﯾﺸﻤﻞ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻘﺎﻋﺪة
) c ( ﻗﺎﻋﺘﮫ ﻣﺜﺚﻠ ﻣﺘﻘﺎﯾﺲ اﻷﺿﻼع وإرﺗﻔﺎﻋﮫ ﯾﺸﻤﻞ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻘﺎﻋﺪة
أﻣﺎ اﻟﮭﺮﻣﯿﻦ ) a ( و ) d ( ﻓﮭﻤﺎ ﻟﯿﺲ ﻣﻨﺘﻈﻤﯿﻦ نﻷ ) ارﺗﻔﺎﻋﯿﮭﻤﺎ ﻻ ﯾﺸﻤﻼن ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻘﺎﻋﺪة
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
14
ﻣﻨﺎﻗﺸﺔ ﺗﻤﺮﯾﻦ ) 1 ( ص 201
اﻟﻤﺠﺴﻤﺎت اﻟﺒﺴﯿﻄﺔ ﻲھ :
) 1 ( ھﺮم ﻗﺎﻋﺘﮫ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻘﺎﯾﺲ اﻷﺿﻼع
) 3 ( ﻣ ،ﻮﺷﻮر ﻗﺎﻢﺋ ) 5 ( ھ ،ﺮم ﻗﺎﻋﺘﮫ ﻣﺮﻊﺑ ) 6 ( ھﺮم ﻗﺎﻋﺘﮫ ﺜﻣ ﺚﻠ
اﻟﻤﺠﺴﻤﺎت اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ﻲھ :
) 2 ( أ ،ﺳﻄﻮاﻧﺔ ﻏﻄﺎﺋﮭﺎ ﻣﺨﺮوط دوران ) 4 ( ﻣﺘﻮازي ﻣﺴﺘﻄﯿﻼت ﻏﻄﺎﺋﮫ ھﺮم
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 187
1 ( اﻟﻤﺠﺴﻤﺎت اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ﯾﻄﻠﺐ وﺻﻒ ﻛﻞ ﻣﻨﮭﺎ ﻣﻊ ذﻛﺮ إﺳﻢ ﻛﻞ ﻣﺠﺴﻢ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺴﻤﺎت اﻟﺘﻲ ﯾﺘﺮﻛﺐ ﻣﻨﺎﮭ
2 ( ﻣﻄﺎﻟﺒﺔ اﻟﺘﻼﻣﯿﺬ ذﻛﺮ أﺷﯿﺎء أﺧﺮى ﻟﮭﺎ ﺷﻜﻞ ﻣﺨﺮوط
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 188
1 ( ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﺘﺸﺎﺑﮫ : ھﻲ ﻗﺎﻋﺪة ﻛﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ ﻋﺒﺎرة ﻋﻦ ﻗﺮص
ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻹﺧﺘفﻼ
أﺳﻄﻮاﻧﺔ دوران ﻣﺨﺮوط دوران
ـ ﻗﺎﻋﺘﯿﻦ ﻛﻞ واﺣﺪةھﻲ ﻗﺮص ـ ﻗﺎﻋﺪة واﺣﺪةھﻲ ﻗﺮص
ـ أوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻋﻤﻮدﯾﺔ ﻋﻠﻰ ـ اﻷوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﺗﺸﺘﺮك
اﻟﻘﺎﻋ ﺪﺗﯿﻦ ﻓﻲ رأس واﺪﺣ
2 ( رأس اﻟﻤﺨﺮوط ، اﻟﻮﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ، اﻟﻘﺎﻋﺪة
ـ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﮭﻨﺪﺳﻲ ﻟﻠﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻠﻤﺠﺴﻢ ھﻮ ﺳﻄﺢ ﻣﻨﻦﺤ
ـ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﮭﻨﺪﺳﻲ ﻟﻘﺎﻋﺪة ھﺬا اﻟﻤﺠﺴﻢ ھﻮ ﻗﺮص
ﻧﺸطﺎ ) 3 ( ص 188
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
15
1 ( اﻟﺸﻜﻞ اﻟﮭﻨﺪﺳﻲ اﻟﺬي ﺗﺮﺳﻤﮫ اﻟﻨﻘﻄﺔ ھﻮ داﺋﺮة
[ OS 2 ( ا رﺗﻔﺎع اﻟﻤﺨﺮوط ) 5 ( ھﻮ اﻟﻘﻄﺔﻌ ]
( d اﻟﻲﺘ ﺣﺎﻣﻠﮭﺎ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢﯿ )
SM=SM’ ﻹﺛﺒﺎت نأ
ﻣﺘﻘﺎﯾﺴنﺎ SOM , SOM’ ﻧﺜﺒﺖ أن اﻟﻤﺜﻠﺜﻦﯿ
ـ ﻛﻞ ﻣﻮﻟﺪات اﻟﻤﺨﺮوط ﻣﻘﺎﯾﺔﺴ
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 189
ﻟﻢ ﺗﺴﺘﻌﻞﻤ ) ﻓﻲ ﻞﻛ اﻷﻣﺎﻛﻦ إﻟﺘﻲ ﯾﺠﺐ إﺳﺘﻌﻤﺎﻟﮭﺎ ( ﺗﻘﻨﯿﺔ اﻟﻤﻨﻈﻮر اﻟﻤﺘﺴﺎوي اﻟﻘﯿسﺎ . أﻧﻈﺮ اﻟﺸﻜﻞ ) 1 (
اﻟﺤﺮف ] SD [ ﯾﻜﻮن ﻣﻨﻘﻄﺎ ﻷﻧﮫ ﺧﻠﻒ اﻟﻮﺟﮭﯿﻦ SAB و SAC
ـ ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران اﻟﺸﻜﻞ ) 2 ( ﯾﺤﺘﻤﻞ إﺟﺎﺑﺘﯿﻦ وذﻟﻚ ﺣﺴﺐ ﻣﻮﻗﻊ اﻟﺮؤﺔﯾ
ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺮؤﯾﺔ ﻣﻦ اﻷﺳﻔﻞ ﻓﺈن اﻟﺮﺳﻢ ﺻﺤﺢﯿ
ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺮؤﯾﺔ ﻣﻦ اﻟﺠﺎﺐﻧ ﻓﺈن اﻟﺮﺳﻢ ﻟﯿﺲ ﺻﺤﯿﺤﺎ
ﺟﺰء ﻣﻦ اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻻ ﯾﺮى ﻷﻧﮫ ﯾﻘﻊ ﺧﻠﻒ اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 189
1 ( ﻻ ﺗﺮى ﻛﻞ أﺟﺰاء ھﺬﯾﻦ اﻟﻤﺠﺴﻤﻦﯿ
2 ( رﺳﻢ ھﺮم ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺑﺤﯿﺚ ﯾﻜﻮن ﻛﻞ ﺟﺰء ﻻ ﯾﺮى ﻣﻨﻂﻘ
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ﻣﻦ إﺧﺘﺒﺮ ﻣﻜﺘﺴﺒﺎﻚﺗ
) 1 ( اﻟﺘﺼﻤﯿﻤﺎن اﻟﺼﺤﯿﺤﺎن ھﻤﺎ a و c
اﻷﺧﻄﺎء اﻟﻮاردة ﻓﻲ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ اﻟﺨﺎﺊﻃ b ھﻮ أن اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﺠﮭﺔ و ﺣﺘﻰ ﯾﻜﻮن ﺻﺤﯿﺢ ﻧﺮﺳﻢ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﺟﮭﺔ
أﺧﺮى ﻟﻌﺮض اﻟﻤﺴﺘﻄﻞﯿ
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
16
) 2 ( اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ اﻟﺼﺤﯿﺢ ﻮھ : g
اﻷﺧﻄﺎء اﻟﻮاردة ﻓﻲ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ f ھﻮ أن اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻣﺮﺳﻮﻣﺔ ﻓﻲ اﻷﻋﻠﻰ وﺣﺘﻰ ﯾﻜﻮن اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ ﺻﺤﯿﺢ ﺗﺮﺳﻢ اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻓﻲ اﻟﺎﺠ ﻧﺐ و
ﻟﯿﺲ أﺳﻞﻔ
ـ اﻟﺨﻄﺄ اﻟﻮارد ﻓﻲ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ h اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ ﻏﯿﺮ ﻣﺮﺳﻮﻣﯿﻦ ﻓﻲ ﺟﺎﻧﺒﻲ اﻟﻤﺴﺘﻄﻞﯿ
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 192
ﻣﻼﺣﻈﺔ : ﺗﻜﻮن اﻷﻧﺸﻄﺔ ﻣﺤﻀﺮة ﻓﻲ اﻟﺒﯿﺖ
1 ( أﺣﺴﻦ ﻃﺮﯾﻘﺔ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺼﻤﯿﻢ ﻣﺠﺴﻢ ھﻮ اﻹﻧﻄﻼق ﻣﻦ ﻣﺠﺴﻢ ﺣﻘﯿﻘﻲ و ﯾﺴﺘﺤﺴﻦ إﺳﺘﻌﻤﺎل اﻷﻟﻮان ﻟﺘﻌﯿﯿﻦ أﺿعﻼ
اﻷﺷﻜﺎل اﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﻋﻦ ﻧﻔﺲ اﻟﺤﺮف ) ﻧﻔﺲ اﻟﻠّﻮن ﻟﻨﻔﺲ اﻟﺤﺮف (
ھﺬا ﻗﺒﻞ ﻧﺸﺮ أوﺟﮫ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻣﺠﺴﻤﻲ اﻟﺴﺆاﻟﻦﯿ 1 و 2 ﻣﻦ اﻟﻨﺸطﺎ
3 ( اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ اﻟﻮﺣﯿﺪ اﻟﺬي ﯾﻤﺜﻞ ﺗﺼﻤﯿﻤﺎ ﻟﻤﺨﺮوط دوراﻧﻲ ھﻮ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ ) 3 (
ـ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺘﺼﻤﯿﻢ ) 1 ( إذا ﺪﻋّل ) ﺑﻔﺼﻞ اﻟﻘﺮص ﻋﻦ ﻣﻜﺎﻧﮫ ﻣﺜﻼ ( ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺗﺼﻤﯿﻢ ﻟﻤﺨﺮوط دوراﻲﻧ
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 193
ﻲﻓ اﻟﺘﺼﺎﻣﯿﻢ اﻟﻤﻘﺪﻣﺔ ﻓﻲ ﻛﺘﺎب اﺗﻠﺘﻠﻤﯿﺬ ﺧﻠﻞ ﺗﻘﻨﻲ ﻟﺬا ﯾﻌﺎد ﺗﻘﺪﯾﻤﮭﺎ ﻓﻲ اﻟﺪﻟﻞﯿ
1 ـ اﻟﺘﺼﻤﯿﻤﺎن ) 1 ( ) و 2 ( ھﻤﺎ ﺗﺼﻤﯿﻤﺎن ﻟﮭﺮﻣﯿﻦ ﻣﻨﺘﻈﻤﯿﻦ ﯾﻄﻠﺐ ﻣﻦ اﻟﺘﻼﻣﯿﺬ ﺗﻌﻠﯿﻞ ذﻟﻚ
ـ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ ) 3 ( ﻟﯿﺲ ﺗﺼﻤﯿﻤﺎ ﻟﮭﺮم ﯾﻄﻠﺐ ﺗﻌﻠﯿﻞ ذﻟﻚ .
ﯾﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺼﻤﯿﻢ ﻟﮭﺮم ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺑﺘﻌﺪﯾﻞ ﻃﻔﯿﻒ ﻟﻤﻮاﻗﻊ ﺑﻌﺾ اﻷوﺟﮫ ﻓﯿﮫ
ـ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ ) 4 ( ﻟﯿﺲ ﺗﺼﻤﯿﻤﺎ ﻟﮭﺮم ﻣﻨﺘﻈﻢ ﯾﻄﻠﺐ ﺗﻌﻠﯿﻞ ذﻟﻚ
2 ـ ﯾﻤﻜﻦ اﻹﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠﻰ أﺣﺪ ﺗﺼﺎﻣﯿﻢ اﻟﺴﺆال اﻟﺴﺎﻖﺑ
أو ﺗﺮك اﻟﺤﺮﯾﺔ ﻟﻠﺘﻠﻤﯿﺬ ﻓﻲ إﻧﺠﺎز ﺗﺼﻤﯿﻢ آﺧﺮ ﻋﻠﻰ أن ﯾﻜﻮن ﺑﺎﻷﻃﻮال اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ﺛﻢ ﯾﺼﻨﻊ ھﺬا اﻟﮭﺮم
ﻧﺸطﺎ ) 3 ( ص 193
ﯾﺘﺒﯿّﻦ اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ ﻓﻲ اﻟﻨﺸطﺎ ) 1 ( ﻣﻦ اﻟﻔﻘﺮة ﻟﻠﺘﻮﻇﯿﻒ نأ اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻤﺨﺮوط دوراﻧﻲ ھﻮ ﻗﻄﺎع ﻗﺮص
1 ـ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﻇﮭﻮر ﺻﻌﻮﺑﺔ ﻣﺎ ﻟﺪى ﺑﻌﺾ اﻟﺘﻼﻣﯿﺬ ﯾﻤﻜﻦ رﺳﻢ اﻟﻤﺨﺮوط ﻋﻠﻰ اﻟﺴﺒﻮرة و إﺑﺮاز ﻋﻠﻰ ھﺬا اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﻤﺜﺚﻠ
SOM ﺑﺎﻠﻟ ّﻮن اﻷﺣﻤﺮ و ﻛﺬﻟﻚ رﻣﺰ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﻋﻨﺪ اﻟﺮأس O ﺑﮭﺬا ﻗﺪ ﯾﮭﺘﺪي اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ إﻟﻰ اﻹﺟﺎﺑﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺴﺆلا
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
17
2 ـ ﻓﻲ اﻟﻔﺮع اﻷول ﻣﻦ اﻟﺴﺆال ﯾﻄﻠﺐ ﺷﺮح ﺳﺒﺐ ﺗﺴﺎوي ﻃﻮل ﻗﻮس C B
)
و ﻣﺤﯿﻂ ﻗﺮص اﻟﻘﺎﻋﺪة ﺛﻢ ﯾﻄﻠﺐ إﺳﺘﻨﺘﺎج ﻃﻮل
ھﺬا اﻟﻘﻮس
* ﯾﻤﻜﻦ اﻹﻧﻄﻼق ﻣﻦ ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران وإﺗﺒﺎع ﻣﺮاﺣﻞ ﻧﺸﺮه ﺑﺎﻟﻘﺺ ﻣﺜﻠﻤﺎ ھﻮ وارد ﻓﻲ اﻟﺴﺆلا ) 2 ( ﻣﻦ اﻟﻨﺸطﺎ ) 1 (
ـ ﻟﻠﻮﺻﻮل ﻋﻤﻠﯿﺎ إﻟﻰ ﻓﮭﻢ ﺳﺒﺐ ﺗﺴﺎوي ﻃﻮل اﻟﻘﻮس C B
)
ﻣﻊ ﻣﺤﯿﻂ ﻗﺮص اﻟﻘﺎﻋﺪة ) ﻋﻨﺪ ﻣﺤﺎوﻟﺔ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺼﻤﯿﻢ
اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪوراﻧﻲ ﺳﻮف ﯾﻼﺣﻆ أن ﻗﻮس ﻗﻄﺎع اﻟﻘﺮص اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻣﺘﻄﺎﺑﻖ ﻣﻊ ﻣﺤﯿﻂ ﻗﺮص اﻟﻘﺎﻋﺪة (
ـ ﺑﻤﺎ أن ﻃﻮل اﻟﻘﻮس C B
)
ﯾﺴﺎوي ﻣﺤﻂﯿ ﻗﺮص اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻓﺈن ﻃﻮل اﻟﻘﻮس C B
)
ﻮھ cm p 12 = cm p ´ ´6 2
ـ ﻓﻲ اﻟﻔﺮع اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻣﻦ اﻟﺴﺆلا ) ﺑﻮﺿﻊ اﻟﺤﺮف S ﺑﺪﻻ ﻦﻣ A ( ﯾﺘﯿﺒ ّﻦ ﻟﻠﺘﻠﻤﯿﺬ أن ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻃﻮل ﻗﻮس اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻠﻤﺨﺮوط
ﻻﯾﻜﻔﻲ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﮭﺬا اﻟﻤﺨﺮوط
ـ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﺮص ) ﻃﻮل اﻟﺪاﺋﺮة ( اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰﺎھ S وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ 10cm ﻮھ cm p 20 = cm p × 10 × 2
إذا ﻛﺎن x ھﻮ ﻗﯿﺲ زاﯾو ﺔ اﻟﻘﻄﺎع ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺟﺪول اﻟﺘﻨﺎﺳﺒﯿﺔ
216° =
p
p
20
360 12 ´ ´
= x
ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻗﯿﺲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ ﻟﻠﻘﻄﺎع اﻟﺘﻲ ﺗﺤﺼﺮ اﻟﻘﻮس C B
)
ﻮھ 216°
ـ ﺑﺎﻻﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت اﻟﺘﻲ اﺳﺘﻨﺘﺠﺖ ﻣﻦ اﻟﺴﺆال اﻟﺴﺎﺑﻖ ﯾﻤﻜﻦ إﻧﺠﺎز ﺗﺼﻤﯿﻢ ﻟﻠﻤﺨﺮوط اﻟﻤﻄﻠﻮب
ﯾﺘﻜﻮن ھﺬا اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ ﻦﻣ
ـ ﻗﺎﻋﺪة ھﻲ ﻗﺮص ﻗﻄهﺮ 6cm
ـ ﺳﻄﺢ ﺟﺎﻧﺒﻲ ھﻮ ﻗﻄﺎع ﻗﺮص ﻗﯿﺲ زاوﯾﺘﮫ اﻟﻤﺮﻛﺰﺔﯾ 216° وﻧﺼﻒ ﻗﻄهﺮ 10cm ﻟﺼﻨﻊ اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﻤﻄﻠﻮب ﺑﺴﮭﻮﺔﻟ
ﯾﺴﺘﺤﺴﻦ ﺗﺮك أﺷﺮﻃﺔ ﻟﺼﻖ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺼﻤﯿﻢ
4 ـ ﯾﺘﻮﺻﻞ اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ ﻋﺒﺮ ھﺬا اﻟﺴﺆال إﻟﻰ ﻋﻼﻗﺔ ﺑﺴﯿﻄﺔ ﺗﺴﻤﺢ ﻟﮫ ﺑﺤﺴﺎب ﻗﯿﺲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺮﻛ ﺰﯾﺔ ﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻤﺨﺮطو
دوراﻲﻧ
ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت اﻟﻮاردة ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ و اﻋﺘﻤﺎدا ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت اﻟﻮاردة ﻓﻲ اﻹﻃﺎر ) ﻛﺘﺎب اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ ( ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺟﺪلو
اﻟﺘﻨﺎﺳﺒﯿﺔ اﻵﻲﺗ
ﻗﯿﺲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻲﺘ
ﺗﺤﺼﺮ اﻟﻘﻮس ) ° (
360° x
ﻃﻮل اﻟﻘﻮس ) cm ( p × L × 2 p × r × 2
ﯾﻨﺘﺞ ﻣﻦ ﺟﺪول اﻟﺘﻨﺎﺳﺒﯿﺔ
x 360
12
p
20
p
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
18
360 ×
L
r
= 360 ×
L
r
´
´
2
2
=
p
p
´ ´
´ ´ ´
L
r
2
360 2
= x
اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻌﻄﯿﻨﺎ ﻗﯿﺲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ ﻟﻘﻄﺎع اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻤﺨﺮوط دوراﻧﻲ ﻲھ 360 ×
L
r
= x
ﺣﯿﺚ r ھﻮ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺮص اﻟﻘﺎﻋﺪة
L ھﻮ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺬي ﯾﻤﺜﻞ اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻠﻤﺨﺮوط
ﺑﺈﺳﺘﻌﻤﺎل ھﺬه اﻟﻌﻼﻗﺔ ﻟﺤﺴﺎ ب ﻗﯿﺲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﺔﯾ x ) اﻟﺴﺆلا ) 2 (( ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻨﺎﺗﺞ ﺑﺎﻟﻔﻌﻞ ﻟﺪﯾﻨﺎ
r = 6cm و L = 10cm إذن
210° = 6 × 36 =
10
6
× 360 = 360 ×
L
r
= x
ﻧﺸطﺎ ) 1 ( ص 194
1 ـ ﻗﺒﻞ اﻟﺘﻄﺮق ﻟﻠﻔﺮع اﻷول ﻻ ﺑﺪّ ﻣﻦ اﻟﺘﺄﻛﺪ أن اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ ﻋﻠﻰ ﻋﻠﻢ ﺑﺄن إرﺗﻔﺎع ھﺮم ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻗﺎﻋﺪة ھﺬا اﻟﮭﺮم و ﯾﺸﻤﻞ رأﮫﺳ
ﺣﺴﺎب اﻹرﺗﻔﺎع اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻘﺎﻋةﺪ ] AB [ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺚﻠ ShB
ﯾﺮﺳﻢ اﻟﮭﺮم ﻋﻠﻰ اﻟﺴﺒﻮرة وﯾﺒﺮز اﻟﻤﺜﺚﻠ SBh ﻣﺜﻼ
و ﯾﺴﺘﻌﻤﻞ رﻣﺰ اﻟﺰاوﯾﺔاﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ﺑﺎﻠﻟ ّﻮن اﻷﺣﻤﺮ ﺛﻢ ﻧﺤﺴﺐ اﻹرﺗﻔﺎع
ﺣﺴﺎب اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻠﮭﺮم اﻟﻤﻌﺘﺒﺮ
ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ اﻟﺘﻔﻄﻦ إﻟﻰ اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺔ اﻟﻮاردة ﻓﻲ اﻹﻃﺎر ) ﻛﺘﺎب اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ (
2 ـ ﯾﻄﻠﺐ ﻣﻦ اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ أن ﯾﻮﺿﺢ ﻣﺎھﻮ اﻟﻤﺮاد ﺑﺎﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻤﺠﺴﻢ ﺛﻢ ﻧﺤﺴﺐ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻄﻠﻮﺑ ﺔ
ﻧﺸطﺎ ) 2 ( ص 194
1 ـ ﻣﺴﺎﺣﺔ ھﺬا اﻟﻘﺮص
2
10 × p = B وﻣﮫﻨ p 100 = B
2 ـ
360
10 360
10
5 . 4
2
´ ´ ´ p
= y وﻣﮫﻨ p 10 × 4.5 = y
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
19
وﻣﮫﻨ p 45 = y
3 ـ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪوران اﻟﻤﻌﯿ ّﻦ ﻲھ :
p 45 = y
ﻧﺸطﺎ ) 3 ( ص 195
1 ـ ﺑﻌﺪ ﺣﺴﺎب ﻃﻮل ﺣﺮف اﻟﮭﺮم ﺑﺈﺳﺘﻌﻤﺎل ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮسر
2 ـ و إﻧﺠﺎز ﺗﺼﻤﯿﻢ ﻟﻠﮭﺮم ﺑﺄﻛﺒﺮ دﻗﺔ ﻣﻤﻜﻨﺔ
3 ـ و ﺑﻌﺪ ﺻﻨﻊ اﻟﻤﻜﻌﺐ ﺑﺎﻟﻄﺮﯾﻘﺔ اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ﯾﺴﺘﻨﺘﺞ أن ﻃﻮل ﺣﺮف اﻟﻤﻜﻌﺐ اﻟﻤﺼﻨﻮع ﻮھ 8cm
4 ـ ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﻤﻜﻌﺐ ﻧﺎﺗﺞ ﻋﻦ ﺗﺮﻛﯿﺐ 6 أھﺮاﻣﺎت
ﻟﮭﺎ ﻧﻔﺲ اﻷﺑﻌﺎد ﺳﻮف ﯾﺴﺘﻨﺘﺞ اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ أن ﺣﺠﻢ اﻟﮭﺮم ﻮھ :
ﺳﺪس ﺣﺠﻢ اﻟﻤﻜﻌﺐ اﻟﺬي أﺑﻌﺎهد 8cm ,8cm , 8cm
يأ
3
cm
3
8 ×
6
1
وﺑﻌﺪ ﻛﺘﺎﺑﺔ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺴﻤﺢ ﺑﺤﺴﺎب ھﺬا اﻟﺤﺠﻢ ﺑﺎﻟﻜﯿﻔﯿﺔ اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ يأ ) 8 ×
2
1
( × )
2
8 ( ×
3
1
ﺣﯿﺚ
2
cm
2
8 ھﻲ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﻜﺐﻌ
و 8 ×
2
1
ھﻮ إرﺗﻔﺎع اﻟﮭﺮم و ھﻮ أﯾﻀﺎ ً ﻧﺼﻒ إرﺗﻔﺎع اﻟﻤﻜﺐﻌ
ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن ﺣﺠﻢ ﻛﻞ ھﺮم ﻣﻦ اﻷھﺮاﻣﺎت اﻟﺴﺘﺔ ﻮھ
) ﺛﻠﺚ ﺟﺪاء ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﮭﺮم و إرﺗﻔﺎﻋﮫ (
5 ـ إﻧﻄﻼﻗﺎ ﻣﻦ ﻛﻞ ﻣﺎ ﺳﺒﻖ ﻣﻦ إﻧﺠﺎز و ﺻﻨﻊ و ﺣﺴبﺎ
ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ اﻟﻘﺎﻋﺪة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﺤﺴﺎب ﺣﺠﻢ ھﺮم وھﻲ :
h × B ×
3
1
= V ﺣﯿﺚ ﯾﺮﺰﻣ
B إﻟﻰ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﮭﺮم و h إﻟﻰ إرﺗﻔﺎع اﻟﮭﺮم
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
20
ﻧﺸطﺎ ) 4 ( ص 196
ﻋﻠﻤﺎ أن ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة ﻮھ 2cm ﻓﺈن ﻣﺤﯿﻄﮭﺎ ﻮھ
p × 2 × 2 أي ﺣﻮاﻟﻲ 12.56cm
ﻧﻼﺣﻆ أﻧﮫ ﻛﻠﻤﺎ زاد ﻋﺪد أﺿﻼع ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻛﻠﻤﺎ ﻛﺒﺮ ﻣﺤﯿﻄﮫ و اﻗﺘﺮﺑﺖ ﻣﻦ ﻃﻮل اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺤﯿﻄﺔ ﺑﮫ يأ 12.56cm
ﻛﻠﻤﺎ ﻛﺒﺮت ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ و إﻗﺘﺮﺑﺖ ﻣﻦ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺮص اﻟﻤﺤﺪد ﺑﮭﺬه اﻟﺪاﺋﺮة يأ
2
cm 12.566
ـ ﻻﺣﻈﻨﺎ أن اﺿﻼع اﻟﻤﻀﻠﻌﺎت اﻟﻤﻨﺘﻈﺔﻤ ) 1 ( ) و 2 ( ) و 3 ( و ) 4 ( ﻧﻘﺘﺮب ﺷﯿﺊ ﻓﺸﯿﺊ ﻣﻦ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﺮص
وﻣﻊ إﺗﻤﺎم رﺳﻢ اﻷھﺮاﻣﺎت اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ﻧﻼﺣﻆ أن اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﮭﺬه اﻷھﺮاﻣﺎت ﯾﻘﺘﺮب ﺑﺪوره ﻣﻦ ﺳﻄﺢ ﻣﻨﺤﻦ أي ﻣﻦ اﻟﺴﻄﺢ
اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪوران
ﻣﻤﺎ ﺳﺒﻖ ﯾﻤﻜﻦ أن ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن ﺣﺠﻢ ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران ﻮھ
H × B ×
3
1
= V
ﺣﯿﺚ ﯾﺮﺰﻣ B إﻟﻰ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺮص ) ﻗﺎﻋﺪة ( اﻟﻤﺨﺮوط و h إﻟﻰ إرﺗﻔﺎع ھﺬا اﻟﻤﺨﺮوط
ﺗﺠﺮﺑﺔ : ﯾﺴﺘﻨﺘﺞ ﻣﻦ ﺧﻼﻟﮭﺎ ﻗﺎﻋﺪة ﻟﺤﺴﺎب ﺣﺠﻢ ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران
اﻟﻨﺸﺎط ﯾﺘﻄﻠﺐ ورق ﻣﻘﻮى و ﻣﺴﺤﻮق ﻣﻠﺢ أو ﺳﻜﺮ أورﻣﻞ
1 ـ أﺻﻨﻊ أﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﺪوران و ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران ﻗﺎﻋﺪﺗﮭﻤﺎ ﻗﺮﺻﺎن ﻧﺼﻔﻲ ﻗﻄﺮﯾﮭﻤﺎ 3cm و ارﺗﻔﺎﻋﮭﻤﺎ 10cm ) ﯾﻠﻔﺖ إ ﻧﺘﺒﺎه
اﻟﺘﻠﻤﯿﺬ إﻟﻰ ﻗﺎﺑﻠﯿﺔ ﺗﻄﺎﺑﻖ ﻗﺎﻋﺪﺗﻲ اﻟﻤﺠﺴﻤﯿﻦ و ﺗﺴﺎوي إرﺗﻔﺎﻋﯿﮭﺎﻤ
2 ـ إﻣﻸ ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران ﺑﺎﻟﻤﺴﺤﻮق ﺣﺘﻰ اﻟﺤﺎﻓﺔ ﻟﻜﻦ دون ﺗﻜﺪﯾﺲ ﺛﻢ أﺳﻜﺐ ﻣﺤﺘﻮاه ﻓﻲ اﻷﺳﻄﻮاﺔﻧ
ﻛﺮر اﻟﻌﻤﻠﯿﺔ ﻋﺪد ﻣﻦ اﻟﻤﺮات اﻟﻼزﻣﺔ ﺣﺘﻰ ﺗﻤﺘﻠﺊ اﻷﺳﻄﻮاﺔﻧ
ـ ﻣﺎھﻮ ﻋﺪد اﻟﻤﺮات اﻟﺘﻲ ﻣﻸت ﻓﯿﮭﺎ اﻟﻤﺨﺮوط ﻟﻜﻲ ﺗﻤﺘﻸ ا ﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ ؟
ـ أﺣﺴﺐ ﺣﺠﻢ اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ ﺑﺄﺧﺬ ﻣﺤﺘﻮى اﻟﻤﺨﺮوط ﻛﻮﺣﺪة ﻟﻠﻘﯿﺎس ﺛﻢ ـﺑ
3
cm ؟
ـ إﺳﺘﻨﺘﺞ ﺣﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط ﺑﺪﻻﻟﺔ ﺣﺠﻢ اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ ـﺑ
3
cm ؟
أﻧﻘﻞ اﻟﻨﺺ ﺛﻢ أﺗﻤﻤﮫ
إذا ﻛﺎن ﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﺪوران و اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪوران ………..
ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺩﺍﺭ ﻧﺰﻫﺔ ﺍﻷﻟﺒﺏﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
21
ﻗﺎﺑﻠﺘﺎن ﻟﻠﻤﻄﺎﺑﻘﺔ و ﺎﻛ ن ﻟﮭﻤﺎ ﻧﻔﺲ ………. ﻓﺈن :
ﺣﺠﻢ ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران ﯾﺴﺎوي …….. ﺣﺠﻢ أﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﺪوران .
ﺑﻌﺪ ھﺬا ﯾﺴﺘﻨﺘﺞ اﻟﻘﺎﻋﺪة :
إذا ﻛﺎﺖﻧ B ھﻲ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ وﻛنﺎ h اﻹرﺗﻔﺎع اﻟﻤﺸﺘﺮك ﻟﮭﺬﯾﻦ اﻟﻤﺠﺴﻤﯿﻦ ﻓﺈن : h × B × ……. = ….
merciiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
