الى جميع الاعضاء السلام عليكم
اقدم لكم اليوم اشتقاق تحويلات لورنتز بالتفصيل, تلك التحويلات الهامة في النظرية النسبية, محاولين قدر الامكان ان نبسط الاشتقاق, ونبين في نفس الوقت اهميته القصوى, اضافة الى اخذ بعض الامثلة التطبيقية عليه. لنجعله في متناول الجميع.
مقدمة هامة/ اخواني الاعزاء ركزو جيدا على النقاط والتعاريف التي سوف اوردها الان لانها تمثل المبادئ الاساسية التي قام عليها اشتقاق لورنتز, وهي:
1) مبدأ ثبات سرعة الضوء: وهو يعني ان سرعة الضوء ثابتة لجميع الانظمة القصورية, فكل ملاحظ سواء ان كان ساكنا او متحركا بسرعة نسبية معينة, سوف يظل يقيس نفس سرعة الضوء.
2) مبدأ النسبية: القوانين واحدة ونفسها لجميع الملاحظين سواء ان كان اولئك الملاحظين ساكنين او كانوا في حالة حركة بسرعة ثابتة.
3) تحويل لورنتز: وهو عبارة عن علاقات ومعادلات رياضية تعمل على ربط قياسات ملاحظ بقياسات ملاحظ اخر فيما بينهما حركة نسبية, اي لو كان هناك ملاحظان احدهما ساكن والاخر متحرك نسبة للاول ( وكان هناك قياسات مكانية وزمانية خاصة يسجلها الملاحظ الساكن, وان هناك قياسات اخرى مكانية وزمانية سيسجلها الملاحظ المتحرك) لذا فالمتكفل الوحيد الذي سوف يستنبط علاقة او صيغة رياضية تربط بين قياسات الملاحظ الساكن والملاحظ المتحرك هو المسمى تحويل لورنتز.
الاشتقاق الرياضي لتحويلات لورنتز:
نفترض ان هناك ملاحظان قصوريان, احداهما ساكن نرمز له بالرمز S . والاخر متحرك بسرعة ثابتة مقدارها v ونرمز له بالرمز S’ ( اس فوقها فتحة) لنفرض كذلك ان القياسات التي سيستخدمها الملاحظ الساكن S ممثلة بالاحداثيات المكانية والزمانية التالية: x,y,z,t .
وان القياسيات التي سيستخدمها الملاحظ المتحرك S’ ممثلة بالحداثيات المكانية والزمانية التالية: ‘x’ ,y’ ,z’ ,t . انظر للشكل (1) في الصورة المرفقة.
والان بالرجوع للصورة المرفقة, نفرض انه عندما يمر الملاحظ المتحرك بالملاحظ الساكن ( اي عند تطابقهما وتقابلهما) اطلقت ومضة ضوء من منتصف اطار الاسناد المتحرك S’ , وهذا الكلام يناظر ويساوي رياضيا ان ومضة الضوء قد اطلقت عند ‘t = t , راجعو الشكل (2) في الصورة المرفقة.
والان, نحن نعلم ان الومضة الضوئية المنطلقة من اطار الاسناد المتحرك تنتشر كرويا (اي تنطلق في جميع الاتجاهات) حيث يكون مركزها لحظة الانطلاق هو نقطة الاصل S للاطار الساكن او نقطة الاصل للاطار المتحرك S’ , والسبب في ذلك انه عند انطلاق ومضة الضوء كان عند تطابق كل من نقطة اصل الاطار المتحرك مع نقطة اصل الاطار الساكن. حسنا بعد فترة من ابتعاد الاطار المتحرك S’ , وكما هو موضح في الشكل (3) في الصورة المرفقة, يحاول كل من ملاحظ موجود عند نقطة الاصل للاطار الساكن, وملاحظ اخر موجود عند نقطة الاصل للاطار المتحرك حساب بعد ومضة الضوء عنهما, ولتكن P , والان كما هو واضح فأن ملاحظ الاطار الساكن يحسب ان ومضة الضوء تبعد عنه بمقدار R , في حين سيحسب الملاحظ المتحرك ان بعد ومضة الضوء عنه هو R’ .
والان, واستنادا الى مبدأ ثبات سرعة الضوء, فأن كل من الملاحظ الساكن والمتحرك سيحسب ان سرعة ومضة الضوء هي ثابتة ومساوية الى c , اي انهما سوف يتفقان على ان سرعة موجة الضوء هي ثابتة ومقدارها c . ويمكن تمثيل كلامنا السابق رياضيا وكالتالي:
بعد النقطة P عن الملاحظ الساكن يعطى بالعلاقة: R = c.t
بعد النقطة P عن الملاحظ الساكن يعطى بالعلاقة: ‘R’ = c.t
فبالنسبة للعلاقة R = c.t تعني ان الملاحظ الساكن سوف يستنتج المسافة او البعد R وذلك من خلال حاصل ضرب سرعة موجة الضوء في الزمن الذي تستغرقه t من اجل الوصول الى النقطة P , وهذه هي وجهة نظر الملاحظ الساكن. كذلك بالنسبة للعلاقة ‘R’ = c.t تعني ان الملاحظ المتحرك سوف يستنتج المسافة او البعد
‘R وذلك من خلال حاصل ضرب سرعة موجة الضوء في الزمن الذي تستغرقه t’ من اجل الوصول الى النقطة P , وهذه هي وجهة نظر الملاحظ المتحرك.
وبصورة عامة, وكما يقول لنا التمثيل الديكارتي الاحداثي لبعد اي نقطة عن نقطة الاصل, فأننا نستطيع وبكل سهولة ان نعرف بعد النقطة P عن الملاحظ الساكن والمتحرك بطريقة التمثيل الديكارتي وهي:
لما كان R هو بعد النقطة عن الملاحظ الساكن عند S .
وان ‘R هو بعد القطة عن الملاحظ المتحرك عند ‘S .
وعليه نستطيع كتابة المعادلتين التاليتين:
R² = x² + y² + z²
R’² = x’² + y’² + z’²
فالمعادلتين اعلاه هي التمثيل الديكارتي لبعد النقطة P عن الملاحظ الساكن والمتحرك على الترتيب.
والان لنعوض في المعادلتين اعلاه مايساوي قيمة كل من R و ‘R المستخرجتين سابقا لنحصل على المعادلتين التاليتين:
c².t² = x² + y² + z² ……….1
c².t’² = x’² + y’² + z’² ……….2
مع الانتباه ان المعادلة(1) هي بالنسبة للملاحظ الساكن عند S .
وان المعادلة (2) هي بالنسبة للملاحظ المتحرك عند ‘S .
والان لنتقدم خطوة اخرى نحو الامام, فبما ان حركة الملاحظ المتحرك S’ هي بأتجاه موازي للمحور x , اي ان الملاحظ المتحرك ينزلق مبتعدا بسرعة ثابتة مقدارها v على المحور x , فأن الاحداثيات المكانية y و z التابعة للملاحظ الساكن لها نفس القياس للاحداثيات المكانية y’ و z’ التابعة للملاحظ المتحرك, اي ان الاحداثيات متساوية فنستطيع ان نكتب y = y’ وكذلك z = z’ .
اذن بعد ان تساوى الاحداثي y و z مع y’ و z’ , بقي فقط لدينا الاحداثي المكاني x والزماني t التابعة للملاحظ الساكن, في حين بقي لدى الملاحظ المتحرك الاحداثي المكاني x’ والزماني t’ , ولنرى ذلك بالفعل ماعلينا سوى ان نطرح المعادلة رقم (2) من المعادلة رقم (1) مع ملاحظة انه عندما نطرح المعادلة 2 من المعادلة 1 فأن y سيحذف مع y’ وان z سيحذف مع z’ بسبب تساويهما فيبقى لدينا مايلي:
c².t² – c².t’² = x² – x’²
والان اذا اعدنا ترتيب المعادلة اعلاه فأننا نحصل على المعادلة رقم (3) التالية
x² – c².t² = x’² – c².t’² ………3
ومن الواضح جدا ان المعادلة (3) المرتبة تحتوي على جانبها الايمن قياسات واحداثيات للملاحظ المتحرك S’ , ويحتوي على جانبها الايسر قياسات واحداثيات الملاحظ الساكن S . على اي حال, فنحن نريد علاقة تربط بين قياسات الملاحظ الساكن x وt وبين قياسات الملاحظ المتحرك x’ وt’ , كيف؟؟؟
تخبرنا الرياضيات اننا لكي نجد تلك العلاقة او ما تسمى بالتحويل, فأننا نفترض اولا ان العلاقة بين قياسات الساكن والمتحرك هي علاقة خطية, اي ان الزمان والمكان سيصبحان متجانسان, اما لماذا نعتبر ان علاقة التحويل التي تربط بين القياسين هي علاقة خطية فهذا ماسنتركه لانه سيحتاج الى شيء من الكلام الكثير.
المهم, نفترض ان العلاقة التحويلية العامة المراد استخراجها هي علاقة خطية لذا نستطيع تمثيلها رياضيا بالطريقة التالية:
x’ = A*x + B*t ……….4
t’ = D*x + F*t ……….5
حيث A , B , D , F هي ثوابت يجب علينا استخراج قيمتها.
وللتنويه والايضاح اكثر, فأننا اذا نظرنا الى المعادلة (4) على سبيل المثال, نرى ان هذه المعادلة التحويلية الاولى, اذ تعمل على تحويل قياسات الملاحظ الساكن ذو الاحداثيات المكانية والزمانية (x وt ) الى الاحداثي المكاني x’ للملاحظ المتحرك.
اي انها تقوم بتحويل القياسات المكانية والزمانية من اطار الاسناد الساكن S الى الاطار الاسناد المتحرك S’ . وقل نفس الشي بالنسبة للمعادلة رقم (5)
والان لربما لاحظتم ان المعادلتين على الرغم من اعتبارهما معادلتي تحويل لورنتز ذات الشكل العام الا انها وبسبب وجود المجاهيل الثوابت A , B , D , F فأننا لانستطيع الاستفادة منها… ولكي نستطيع ان نظهر الاستفادة الحقيقية لتحويل لورنتز ما علينا سوى ان نستخرج قيم المجاهيل الثوابت A , B , D , F , وهذا ماستقوم به الخطوات ادناه:
اولا/ لقد قلنا ان الملاحظ المتحرك S’ كان موجودا عند نقطة الاصل في اطار اسناده المتحرك, اي عند( x’ = 0 ) ولنفرض فرضا عند زمن مقداره ( t’ = 0 ) هذا من جهة, ومن جهة اخرى فأن الملاحظ الساكن S يرى ان الملاحظ S’ متحركا بسرعة مقدارها v , وبالتالي فحسب الملاحظ الساكن فأنه يجد ان الملاحظ المتحرك يبتعد عنه بمقدار x اي ان ( x = v*t ) وهذا يعني ان المعادلة رقم (4) تصبح بالشكل التالي:
zero = A* v*t + B*t
وبحذف t من الطرفين نحصل على:
B = – A*v ……….6
وبتعويض معادلة رقم 6 في المعادلة رقم (4) نستنتج المعادلة رقم (7)
x’ = A*( x – v*t) ……….7
وبتعويض معادلة رقم (5) ومعادلة رقم (7) في المعادلة رقم (3) وترتيبها نحصل على المعادلة رقم (8) ادناه:
A² – c²*D² – 1)x² – 2(v*A² + c²* D*F) x*t – (c²*F² – v²*A²- c² ) t² = 0 )
والان لكي نحل المعادلة رقم(8) اعلاه فأننا سنستخدم الحجة الرياضية التالية:
ان الثوابت الموجودة بين القوسين والمضروبة في المتغيرات x وt سوف نساويها للصفر حتى نحقق شرط المعادلة رقم (8) ككل وهو مساواتها للصفر, فيكون:
A² – c²*D² – 1 = 0 ……..9
v*A² + c²* D*F = 0 ……..10
c²*F² – v²*A²- c² = 0 ……..11
والان لنركز جيدا في حل المعادلات اعلاه لاستخراج قيم الثوابت.
نحن نستطيع ترتيب المعادلة رقم 10 بالشكل التالي:
F = -v*A² / c²*D ……..12
ولنقم بعد ذلك بتعويض المعادلة رقم (12) في المعادلة رقم(11) فنحصل على
v²*A² / c²*D² – v²*A² = c² ……..13
لكن من الرجوع الى المعادلة رقم (9) فأننا نستطيع ترتيبها بالشكل التالي:
D² = (A² – 1) / c² ……..14
حسنا فالنقم بتعويض معادلة رقم(14) في المعادلة رقم (13) فنحصل على:
v²*A^4 /(A² – 1) – v²*A² = c² ……..15
واذا قمنا بحل المعادلة اعلاه فأننا نحصل على قيمة الثابت A وهي:
A = 1/(1-v²/c²)^1/2
على اي حال اصبح من السهل جدا ايجاد قيم الثوابت الاخرى والتي تساوي:
F = 1/(1-v²/c²)^1/2
D = -( v*c² ) / (1-v²/c²)^1/2
B = -v / (1-v²/c²)^1/2
ولنقم الان بتعويض قيم الثوابت المستخرجة في المعادلتين رقم (4) و(5) وبشيء من الترتيب البسيط فنحصل على معادلات التالية:
x’ = A*(x – v*t ) ……….16
t’ = A*(t – v/c²*x ) ……….17
z’ = z …….. 18
y’ = y …….. 19
ان المعادلات اعلاه هي المسماة معادلات لورنتز العكسية, وتسمى عسكية لاننا حصلنا قياسات الملاحظ المتحرك S’ بدلالة قياسات الملاحظ الساكن S , اي ان معادلات لورنتز العكسية هي التي تكون في الطرف الايمن قياسات للملاحظ الساكن, وفي طرفها الايسر قياسات للملاحظ المتحرك.
وعلى هذا الاساس ستكون معادلات تحويل لورنتز هي بأستبدال v بـ -v وباستبدال x’ ,y’ ,z’ ,t’ بـ x,y,z,t . فنحصل على معادلات تحويل لورنتز:
x = A*(x’ + v* t’ ) ……….20
t = A*(t’ + v/c²* x’ ) ……….21
z = z’ …….. 22
y = y’ …….. 23
فالمعادلات اعلاه تسمى معادلات لونتز فقط , لان في جانبها الايمن قياسات للملاحظ المتحرك, في حين في جانبها الايسر قياسات للملاحظ الساكن.
حيث A هو الثابت كما مستخرج سابقا. ويسمى الثابت A الذي يظهر في تحويل لورنتز بعامل النسبية او جذر النسبية المعروف, وبالحقيقة هذا العامل او الثابت هو المسؤل عن النتائج التي تؤدي الى نسبية الزمان والمكان في النسبية الخاصة.
حسنا لربما كان الاشتقاق صعبا, على اي حال يكفيكم ان تتمعنوا في معادلتي تحويل لورنتز رقم (20) و (21) او في معادلتي تحويل لورنتز العكسية رقم ( 16)
و (17) حتى نكون جاهزين للمشاركة التالية.
